La teoría de conjuntos constituye la mayor parte de los cimientos de las matemáticas modernas y se formalizó a finales del siglo XIX. La teoría de conjuntos describe algunas ideas muy fundamentales e intuitivas sobre cómo las cosas llamadas «elementos» o «miembros» encajan en grupos. A pesar de la aparente simplicidad de las ideas, la teoría de conjuntos es bastante rigurosa. Al tratar de eliminar toda arbitrariedad en sus teorías, los matemáticos han afinado la teoría de conjuntos en un grado impresionante a lo largo de los años.
En la teoría de conjuntos, un conjunto es cualquier grupo bien definido de elementos o miembros. Los conjuntos suelen estar simbolizados por letras mayúsculas en cursiva como A o B. Si dos conjuntos contienen los mismos miembros, pueden mostrarse como equivalentes con un signo igual.
El contenido de un conjunto se puede describir en inglés simple: A = todos los mamíferos terrestres. Los contenidos también se pueden enumerar entre paréntesis: A = {osos, vacas, cerdos, etc.} Para conjuntos grandes, se pueden emplear puntos suspensivos, donde el patrón del conjunto es obvio. Por ejemplo, A = {2, 4, 6, 8… 1000}. Un tipo de conjunto tiene cero miembros, el conjunto conocido como conjunto vacío. Está simbolizado por un cero con una línea diagonal que asciende de izquierda a derecha. Aunque aparentemente trivial, resulta ser bastante importante matemáticamente.
Algunos conjuntos contienen otros conjuntos, por lo que se denominan superconjuntos. Los conjuntos contenidos son subconjuntos. En la teoría de conjuntos, esta relación se conoce como «inclusión» o «contención», simbolizada por una notación que se parece a la letra U girada 90 grados a la derecha. Gráficamente, esto se puede representar como un círculo contenido dentro de otro círculo más grande.
Algunos conjuntos comunes en la teoría de conjuntos incluyen N, el conjunto de todos los números naturales; Z, el conjunto de todos los números enteros; Q, el conjunto de todos los números racionales; R, el conjunto de todos los números reales; y C, el conjunto de todos los números complejos.
Cuando dos conjuntos se superponen pero ninguno está completamente integrado dentro del otro, todo se denomina unión de conjuntos. Esto está representado por un símbolo similar a la letra U, pero un poco más ancho. En notación de conjuntos, AUB significa «el conjunto de elementos que son miembros de A o B». Gire este símbolo boca abajo y obtendrá la intersección de A y B, que se refiere a todos los elementos que son miembros de ambos conjuntos. En la teoría de conjuntos, los conjuntos también se pueden «restar» entre sí, lo que da como resultado complementos. Por ejemplo, B – A es equivalente al conjunto de elementos que son miembros de B pero no A.
De los fundamentos anteriores, se deriva la mayor parte de las matemáticas. Casi todos los sistemas matemáticos contienen propiedades que pueden describirse fundamentalmente en términos de teoría de conjuntos.