Der Erwartungswert ist der Durchschnittswert einer unbekannten Variablen, der aus einer großen Anzahl von Experimenten erhalten wurde. Wenn ein Experiment oder eine Messung mehrmals durchgeführt wird, wird erwartet, dass das Ergebnis dieser Experimente variiert. Ein Erwartungswert sagt einfach den gewichteten Durchschnitt für all diese Werte voraus. Es ist ein Konzept, das sowohl in der Quantenphysik als auch in der Statistik häufig verwendet wird.
Der gewichtete Durchschnitt aller möglichen Ergebnisse wird berechnet, indem jede potenzielle Variable mit ihrer Wahrscheinlichkeit multipliziert wird. Alle diese Werte werden addiert und durch die Anzahl der Wahrscheinlichkeiten oder möglichen Ergebnisse geteilt. Ein einfaches Beispiel ist das Werfen einer Münze. Es besteht eine 50-prozentige Wahrscheinlichkeit, dass ein Flip zu einem Kopf führt und eine 50-prozentige Wahrscheinlichkeit, dass er zu einer Zahl führt.
In diesem Szenario gibt es zwei mögliche Ergebnisse. Jedes potenzielle Ergebnis wird mit 0.50 multipliziert. Addiert man diese beiden Zahlen zusammen, ergibt sich eine Summe von 1.00, die dann durch zwei geteilt wird. Der erwartete Wert für einen Münzwurf beträgt 0.50.
Die meisten Berechnungen mit dem Erwartungswert sind jedoch komplexer als ein Münzwurf. Sie beinhalten typischerweise eine Vielzahl von Möglichkeiten und gewichteten Wahrscheinlichkeiten. Ein Erwartungswert ist einfach eine Vorhersage. Sie kann kein tatsächliches Ergebnis berechnen, sondern nur den Mittelwert oder Durchschnitt dieser Ergebnisse.
Häufig werden Stichprobengrößen verwendet, um die Ergebnisse größerer Populationen vorherzusagen.
Bei der Berechnung des Erwartungswerts einer Stichprobengröße wird davon ausgegangen, dass ihr Mittelwert dem Durchschnitt der größeren Grundgesamtheit entspricht. Stichprobengrößen sind kleinere Darstellungen ganzer Populationen und werden verwendet, da es nicht möglich ist, jede einzelne existierende Variable zu testen oder zu messen.
Es besteht immer die Möglichkeit, dass das tatsächliche Ergebnis eines Experiments stark vom Durchschnitt abweicht. Meistens liegt etwa die Hälfte dieser Werte über dem Mittel- oder Erwartungswert. Die andere Hälfte wird unter den Mittelwert fallen. Bei Populationen, die links vom Mittelwert verzerrt sind, liegt ein höherer Anteil der tatsächlichen Versuchswerte unter dem Mittelwert. Bei rechtsschiefen Populationen liegen die meisten tatsächlichen Werte irgendwo über dem Mittelwert.
In der Quantenphysik ist der Erwartungswert die durchschnittliche Energiemenge, die von einer großen Gruppe von Atomteilchen erwartet werden kann. Die Energieladung bezieht sich auf die Bahnposition des Teilchens. Es bestimmt die Gradzahl, um die sich diese Teilchen wahrscheinlich als Reaktion auf externe Energiequellen oder Magnetfelder bewegen. Der Erwartungswert der Energie würde einen durchschnittlichen Betrag der erwarteten Bewegung in einer Gruppe von Teilchen widerspiegeln.