Der Schweizer Mathematiker Leonhard Euler aus dem 18. Jahrhundert entwickelte zwei Gleichungen, die als Eulersche Formel bekannt wurden. Eine dieser Gleichungen bezieht sich auf die Anzahl der Scheitelpunkte, Flächen und Kanten auf einem Polyeder. Die andere Formel verbindet die fünf häufigsten mathematischen Konstanten miteinander. Diese beiden Gleichungen rangierten an zweiter bzw. an erster Stelle als die elegantesten mathematischen Ergebnisse laut „The Mathematical Intelligencer“.
Die Eulersche Formel für Polyeder wird manchmal auch als Euler-Descartes-Theorem bezeichnet. Es besagt, dass die Anzahl der Flächen plus der Anzahl der Scheitelpunkte minus der Anzahl der Kanten auf einem Polyeder immer gleich zwei ist. Es wird als F + V – E = 2 geschrieben. Ein Würfel hat beispielsweise sechs Flächen, acht Ecken und 12 Kanten. Setzt man die Eulersche Formel ein, ist 6 + 8 – 12 tatsächlich gleich zwei.
Es gibt Ausnahmen von dieser Formel, da sie nur für ein Polyeder gilt, das sich nicht selbst schneidet. Bekannte geometrische Formen wie Kugeln, Würfel, Tetraeder und Achtecke sind alle sich nicht schneidende Polyeder. Ein sich schneidendes Polyeder würde jedoch entstehen, wenn jemand zwei der Eckpunkte eines sich nicht schneidenden Polyeders verbinden würde. Dies würde dazu führen, dass das Polyeder die gleiche Anzahl von Flächen und Kanten hat, aber eine Ecke weniger, so dass es offensichtlich ist, dass die Formel nicht mehr gilt.
Andererseits kann eine allgemeinere Version der Eulerschen Formel auf Polyeder angewendet werden, die sich selbst schneiden. Diese Formel wird häufig in der Topologie verwendet, der Untersuchung räumlicher Eigenschaften. In dieser Version der Formel ist F + V – E gleich einer Zahl namens Euler-Charakteristik, die oft durch den griechischen Buchstaben chi symbolisiert wird. Sowohl der Donut-förmige Torus als auch der Möbius-Streifen haben beispielsweise eine Euler-Charakteristik von Null. Die Euler-Kennlinie kann auch kleiner als Null sein.
Die zweite Eulersche Formel enthält die mathematischen Konstanten e, i, , 1 und 0. E, die oft Eulersche Zahl genannt wird und eine irrationale Zahl ist, die auf 2.72 gerundet wird. Die imaginäre Zahl i ist als Quadratwurzel von -1 definiert. Pi (Π), das Verhältnis zwischen Durchmesser und Umfang eines Kreises, beträgt ungefähr 3.14, ist aber wie e eine irrationale Zahl.
Diese Formel wird geschrieben als e(i*Π) + 1 = 0. Euler entdeckte, dass wenn Π durch x in der trigonometrischen Identität e(i*Π) = cos(x) + i*sin(x) ersetzt wird, das Ergebnis war das, was wir heute als Eulersche Formel kennen. Zusätzlich zum Bezug dieser fünf fundamentalen Konstanten zeigt die Formel auch, dass das Potenzieren einer irrationalen Zahl mit einer imaginären irrationalen Zahl zu einer reellen Zahl führen kann.