Ein Spline ist eine Art stückweise Polynomfunktion. In der Mathematik werden Splines häufig in einer Art von Interpolation verwendet, die als Spline-Interpolation bekannt ist. Spline-Kurven werden auch in der Computergrafik und im computergestützten Design (CAD) verwendet, um komplexe Formen anzunähern.
Interpolation wird verwendet, wenn ein Satz diskreter Datenpunkte vorhanden ist und es erforderlich ist, andere Punkte des gleichen Datentyps aus den gegebenen Punkten zu schätzen. Die polynomiale Interpolation wird üblicherweise für eine kleine Anzahl von Datenpunkten verwendet; Dies ist eine Methode, die eine Polynomfunktion n-ter Ordnung an n + 1 Datenpunkte anpasst. Wenn die Anzahl der Punkte jedoch größer wird, passen Polynominterpolationen oft nicht gut zu den Daten. In diesen Fällen wird stattdessen häufig die Spline-Interpolation verwendet.
Während die Polynominterpolation eine Kurve durch alle Datenpunkte gleichzeitig passt, approximiert die Spline-Interpolation eine Kurve zwischen jedem benachbarten Paar von Datenpunkten und addiert alle Kurven zusammen, um die endgültige Näherung zu erstellen. Aus diesem Grund sind Splines stückweise Funktionen und keine glatten Kurven. Üblicherweise verwendete Spline-Interpolationstechniken umfassen lineare, quadratische und kubische Interpolation.
Die lineare Spline-Interpolation passt einfach gerade Linien durch jedes aufeinanderfolgende Paar von Datenpunkten. Jeder Linienabschnitt kann je nach Verteilung der Daten eine ähnliche oder sehr unterschiedliche Steigung aufweisen als der andere Abschnitt. Um den y-Wert in einem kartesischen Koordinatensystem für einen gegebenen x-Wert zwischen zwei Datenpunkten zu finden, wird die Steigung zwischen den gegebenen Punkten mit dem Abstand zwischen dem x-Wert, für den der y-Wert gewünscht wird, und dem x-Wert für den Punkt zu multipliziert seine links. Diese Zahl wird dann zum y-Wert links von der gewünschten Stelle addiert, um die Näherung für den y-Wert zwischen den beiden Punkten zu erhalten.
Die quadratische Spline-Interpolation approximiert die Daten zwischen aufeinanderfolgenden Punkten durch ein quadratisches Polynom. Um die Koeffizienten dieser quadratischen Gleichungen zu finden, können eine Reihe von Verfahren zum Lösen simultaner Gleichungen angewendet werden. Lineare Algebra-Techniken oder das Lösen unter Verwendung von Computersoftware sind einige der am häufigsten verwendeten Techniken. Ein interpolierter y-Wert auf einem quadratischen Spline wird unter Verwendung der allgemeinen quadratischen Gleichung y = a*x2 + b*x + c mit den zuvor bestimmten a-, b- und c-Koeffizienten gefunden.
Die kubische Spline-Interpolation verwendet eine kubische Polynomfunktion oder eine Polynomfunktion dritter Ordnung, um die Daten zwischen aufeinanderfolgenden Punkten anzunähern. Diese Art von Spline wird normalerweise mit einer Computersoftware oder einem Grafikrechner berechnet. Eine spezielle Art der kubischen Spline-Interpolation, die als Klemm- oder vollständige Spline-Interpolation bezeichnet wird, verwendet die an den Enden der Kurve angegebenen Steigungen, um die Berechnung der Funktion zu unterstützen.