En matemáticas, un conjugado complejo es un par de números de dos componentes llamados números complejos. Cada uno de estos números complejos posee un componente de número real agregado a un componente imaginario. Aunque su valor es igual, el signo de uno de los componentes imaginarios en el par de números complejos conjugados es opuesto al signo del otro. A pesar de tener componentes imaginarios, se utilizan conjugados complejos para describir realidades físicas. El uso de conjugados complejos funciona a pesar de la presencia de componentes imaginarios, porque cuando los dos componentes se multiplican, el resultado es un número real.
Los números imaginarios se definen como cualquier número que cuando se eleva al cuadrado da como resultado un número negativo real. Esto puede reformularse en otros términos para simplificar. Un número imaginario es cualquier número real multiplicado por la raíz cuadrada del uno negativo (-1), ininteligible en sí mismo. En esta forma, un conjugado complejo es un par de números que se pueden escribir, y = a + bi e y = a – bi, donde “i” es la raíz cuadrada de -1. Formalmente, para distinguir los dos valores de y, uno generalmente se escribe con una barra sobre la letra, ӯ, aunque ocasionalmente se usa un asterisco.
Para demostrar que la multiplicación de dos números complejos conjugados produce un resultado real, considere un ejemplo, y = 7 + 2i y ӯ = 7–2i. Multiplicar estos dos da yӯ = 49 + 14i – 14i – 4i2 = 49 + 4 = 53. Un resultado tan real de la multiplicación conjugada compleja es importante, particularmente al considerar sistemas en los niveles atómico y subatómico. Con frecuencia, las expresiones matemáticas para pequeños sistemas físicos incluyen un componente imaginario. La disciplina en la que esto es especialmente importante es la mecánica cuántica, la física no clásica de lo muy pequeño.
En mecánica cuántica, las características de un sistema físico que consta de una partícula se describen mediante una ecuación de onda. Todo lo que hay que aprender sobre la partícula en su sistema puede ser revelado por estas ecuaciones. Con frecuencia, las ecuaciones de onda presentan un componente imaginario. Multiplicar la ecuación por su conjugado complejo da como resultado una «densidad de probabilidad» físicamente interpretable. Las características de la partícula se pueden determinar manipulando matemáticamente esta densidad de probabilidad.
A modo de ejemplo, el uso de la densidad de probabilidad es importante en la emisión espectral discreta de radiación de los átomos. Esta aplicación de la densidad de probabilidad se llama «probabilidad de Born», en honor al físico alemán Max Born. La importante interpretación estadística estrechamente relacionada de que la medición de un sistema cuántico dará ciertos resultados específicos se llama la regla de Born. Max Born recibió el Premio Nobel de Física en 1954 por su trabajo en esta área. Desafortunadamente, los intentos de derivar la regla de Born a partir de otras derivaciones matemáticas han tenido resultados mixtos.