Le mathématicien suisse du XVIIIe siècle Leonhard Euler a développé deux équations connues sous le nom de formule d’Euler. L’une de ces équations concerne le nombre de sommets, de faces et d’arêtes sur un polyèdre. L’autre formule relie les cinq constantes mathématiques les plus courantes les unes aux autres. Ces deux équations se classaient respectivement deuxième et premier, comme les résultats mathématiques les plus élégants selon « The Mathematical Intelligencer ».
La formule d’Euler pour les polyèdres est parfois aussi appelée théorème d’Euler-Descartes. Il indique que le nombre de faces, plus le nombre de sommets, moins le nombre d’arêtes sur un polyèdre est toujours égal à deux. Il s’écrit F + V – E = 2. Par exemple, un cube a six faces, huit sommets et 12 arêtes. En se branchant sur la formule d’Euler, 6 + 8 – 12 est en fait égal à deux.
Il y a des exceptions à cette formule, car elle n’est vraie que pour un polyèdre qui ne se coupe pas. Les formes géométriques bien connues, notamment les sphères, les cubes, les tétraèdres et les octogones, sont toutes des polyèdres non sécants. Un polyèdre sécant serait créé, cependant, si quelqu’un devait joindre deux des sommets d’un polyèdre non sécant. Il en résulterait que le polyèdre aurait le même nombre de faces et d’arêtes, mais un sommet de moins, il est donc évident que la formule n’est plus vraie.
D’autre part, une version plus générale de la formule d’Euler peut être appliquée aux polyèdres qui se coupent. Cette formule est souvent utilisée en topologie, qui est l’étude des propriétés spatiales. Dans cette version de la formule, F + V – E est égal à un nombre appelé caractéristique d’Euler, qui est souvent symbolisé par la lettre grecque chi. Par exemple, à la fois le tore en forme de beignet et la bande de Mobius ont une caractéristique d’Euler de zéro. La caractéristique d’Euler peut également être inférieure à zéro.
La deuxième formule d’Euler comprend les constantes mathématiques e, i, , 1 et 0. E, qui est souvent appelé nombre d’Euler et est un nombre irrationnel qui s’arrondit à 2.72. Le nombre imaginaire i est défini comme la racine carrée de -1. Pi (Π), la relation entre le diamètre et la circonférence d’un cercle, est d’environ 3.14 mais, comme e, est un nombre irrationnel.
Cette formule s’écrit e(i*Π) + 1 = 0. Euler a découvert que si Π était substitué à x dans l’identité trigonométrique e(i*Π) = cos(x) + i*sin(x), le résultat était ce que nous connaissons maintenant comme la formule d’Euler. En plus de relier ces cinq constantes fondamentales, la formule démontre également qu’élever un nombre irrationnel à la puissance d’un nombre irrationnel imaginaire peut donner un nombre réel.