La fonction delta de Kronecker, notée δi,j, est une fonction binaire qui vaut 1 si i et j sont égaux et vaut 0 sinon. Bien qu’il soit techniquement fonction de deux variables, dans la pratique, il est utilisé comme un raccourci de notation, permettant d’écrire de manière compacte des déclarations mathématiques compliquées. Les mathématiciens, les physiciens et les ingénieurs qui travaillent dans l’algèbre linéaire, l’analyse tensorielle et le traitement du signal numérique utilisent la fonction delta de Kronecker comme un expédient pour transmettre dans une seule équation ce qui pourrait autrement prendre plusieurs lignes de texte.
Cette fonction est le plus souvent utilisée pour simplifier l’écriture d’équations impliquant la notation sigma, qui est elle-même une méthode concise de référence à des sommes compliquées. Par exemple, si une entreprise compte 30 employés {e1, e2 … e30} et que chaque employé travaille un nombre d’heures différent {h1, h2 … h30} à un taux horaire différent {r1, r2 … r30}, le montant total payé à ces employés pour leur travail est égal à e1*h1*r1 + e2*h2*r2 + e3*h3*r3 + … e30*h30*r30. Les mathématiciens peuvent écrire cela de manière concise sous la forme ∑i ei*hi*ri.
Lorsqu’ils décrivent des systèmes physiques qui impliquent plusieurs dimensions, les physiciens doivent fréquemment utiliser des doubles sommations. Les applications scientifiques pratiques sont très complexes, mais un exemple concret montre comment la fonction delta de Kronecker peut simplifier les expressions dans ces cas.
Il y a trois magasins de vêtements dans un centre commercial, chacun vendant une marque différente. Au total, 20 styles de chemises sont disponibles : huit offerts par le magasin 1, sept offerts par le magasin 2 et cinq offerts par le magasin 3. Douze styles de pantalons sont disponibles : cinq au magasin 1, trois au magasin 2 et quatre au magasin 3. On peut acheter 240 tenues possibles, car il y a 20 options pour la chemise et 12 options pour le pantalon. Chaque combinaison donne une tenue différente.
Il n’est pas aussi simple de calculer le nombre de façons de sélectionner une tenue dans laquelle la chemise et le pantalon proviennent de différents magasins. On peut sélectionner une chemise dans le magasin 1 et un pantalon dans le magasin 2 de 8*3 façons. Il y a 8*4 façons de sélectionner une chemise du magasin 1 et un pantalon du magasin 3. En continuant de cette manière, on trouve le nombre total de tenues utilisant des articles de différents magasins est de 8*3 + 8*4 + 7*5 + 7 *4 + 5*5 + 5*3 = 199.
On pourrait considérer la disponibilité des chemises et des pantalons comme deux séquences, {s1, s2, s3} = {8, 7, 5} et {p1, p2, p3} = {5, 3, 4}. Alors la fonction delta de Kronecker permet d’écrire cette somme simplement comme ∑i ∑jsi * pj * (1- δi,j). Le terme (1- δi,j) élimine les tenues composées d’une chemise et d’un pantalon achetées dans le même magasin car dans ce cas i = j, donc δi,j = 1 et (1- δi,j) = 0. Multiplication du terme par 0 le supprime de la somme.
La fonction delta de Kronecker est le plus souvent utilisée lors de l’analyse d’espaces multidimensionnels, mais elle peut également être utilisée lors de l’étude d’espaces unidimensionnels, comme la droite numérique réelle. Dans ce cas, une variante à entrée unique est souvent utilisée : δ(n) = 1 si n = 0 ; (n) = 0 sinon. Pour voir comment la fonction delta de Kronecker peut être utilisée pour simplifier des déclarations mathématiques complexes sur les nombres réels, on pourrait considérer les deux fonctions suivantes dont les entrées sont des fractions simplifiées :
f(a/b) = a si a =b+1, f(a/b) = -b si b=a+1, et f(a/b) = 0 sinon.g(a/b) = a *δ(ab-1) –b*δ(a-b+1)
Les fonctions f et g sont identiques, mais la définition de g est plus compacte et ne nécessite pas d’anglais, elle peut donc être comprise par n’importe quel mathématicien du monde.
Comme illustré par ces exemples, les entrées de la fonction delta de Kronecker sont généralement des entiers qui sont connectés à une séquence de valeurs. La distribution delta de Dirac est un analogue continu de la fonction delta de Kronecker utilisée lors de l’intégration de fonctions plutôt que de la sommation des séquences.