In matematica, un complesso coniugato è una coppia di numeri a due componenti chiamati numeri complessi. Ciascuno di questi numeri complessi possiede una componente numerica reale aggiunta a una componente immaginaria. Sebbene il loro valore sia uguale, il segno di uno dei componenti immaginari nella coppia di numeri complessi coniugati è opposto al segno dell’altro. Nonostante abbiano componenti immaginarie, i coniugati complessi sono usati per descrivere le realtà fisiche. L’uso di coniugati complessi funziona nonostante la presenza di componenti immaginarie, perché quando le due componenti vengono moltiplicate insieme, il risultato è un numero reale.
I numeri immaginari sono definiti come tutti i numeri che quando sono al quadrato risultano in un numero reale negativo. Ciò può essere riformulato in altri termini per semplificazione. Un numero immaginario è un qualsiasi numero reale moltiplicato per la radice quadrata di uno negativo (-1) — di per sé incomprensibile. In questa forma, un complesso coniugato è una coppia di numeri che possono essere scritti, y=a+bi e y=a–bi, dove “i” è la radice quadrata di -1. Formalisticamente, per distinguere i due valori y, uno è generalmente scritto con una barra sopra la lettera, , anche se occasionalmente viene utilizzato un asterisco.
Dimostrando che la moltiplicazione di due numeri coniugati complessi produce un risultato reale, considera un esempio, y=7+2i e ӯ=7–2i. Moltiplicando questi due si ottiene yӯ=49+14i–14i–4i2=49+4=53. Un risultato così reale dalla moltiplicazione coniugata complessa è importante, in particolare nel considerare i sistemi a livello atomico e subatomico. Spesso le espressioni matematiche per piccoli sistemi fisici includono una componente immaginaria. La disciplina in cui questo è particolarmente importante è la meccanica quantistica, la fisica non classica del piccolissimo.
In meccanica quantistica, le caratteristiche di un sistema fisico costituito da una particella sono descritte da un’equazione d’onda. Tutto ciò che deve essere appreso sulla particella nel suo sistema può essere rivelato da queste equazioni. Spesso le equazioni d’onda presentano una componente immaginaria. Moltiplicando l’equazione per il suo complesso coniugato si ottiene una “densità di probabilità” fisicamente interpretabile. Le caratteristiche della particella possono essere determinate manipolando matematicamente questa densità di probabilità.
A titolo di esempio, l’uso della densità di probabilità è importante nell’emissione spettrale discreta della radiazione dagli atomi. Tale applicazione della densità di probabilità è chiamata “probabilità di nascita”, dal fisico tedesco Max Born. L’importante interpretazione statistica strettamente correlata che la misurazione di un sistema quantistico darà determinati risultati specifici è chiamata regola di Born. Max Born ha ricevuto il Premio Nobel per la Fisica nel 1954 per il suo lavoro in questo settore. Sfortunatamente, i tentativi di derivare la regola di Born da altre derivazioni matematiche hanno avuto risultati contrastanti.