Il matematico svizzero del XVIII secolo Leonhard Euler sviluppò due equazioni note come formula di Eulero. Una di queste equazioni riguarda il numero di vertici, facce e bordi su un poliedro. L’altra formula mette in relazione tra loro le cinque costanti matematiche più comuni. Queste due equazioni si sono classificate rispettivamente al secondo e al primo posto come i risultati matematici più eleganti secondo “The Mathematical Intelligencer”.
La formula di Eulero per i poliedri è talvolta chiamata anche teorema di Eulero-Cartesio. Afferma che il numero di facce, più il numero di vertici, meno il numero di spigoli su un poliedro è sempre uguale a due. È scritto come F + V – E = 2. Ad esempio, un cubo ha sei facce, otto vertici e 12 spigoli. Inserendo la formula di Eulero, 6 + 8 – 12 fa, infatti, uguale a due.
Ci sono eccezioni a questa formula, perché vale solo per un poliedro che non si interseca. Le forme geometriche ben note tra cui sfere, cubi, tetraedri e ottagoni sono tutti poliedri non intersecanti. Un poliedro intersecante verrebbe creato, tuttavia, se qualcuno dovesse unire due dei vertici di un poliedro non intersecante. Ciò comporterebbe il poliedro con lo stesso numero di facce e bordi, ma un vertice in meno, quindi è ovvio che la formula non è più vera.
D’altra parte, una versione più generale della formula di Eulero può essere applicata ai poliedri che si intersecano. Questa formula è spesso usata in topologia, che è lo studio delle proprietà spaziali. In questa versione della formula, F + V – E è uguale a un numero chiamato caratteristica di Eulero, spesso simboleggiato dalla lettera greca chi. Ad esempio, sia il toro a forma di ciambella che il nastro di Mobius hanno una caratteristica di Eulero pari a zero. La caratteristica di Eulero può anche essere minore di zero.
La seconda formula di Eulero include le costanti matematiche e, i, Π, 1 e 0. E, che è spesso chiamato numero di Eulero ed è un numero irrazionale che arrotonda a 2.72. Il numero immaginario i è definito come la radice quadrata di -1. Pi (Π), la relazione tra il diametro e la circonferenza di un cerchio, è circa 3.14 ma, come e, è un numero irrazionale.
Questa formula è scritta come e(i*Π) + 1 = 0. Eulero scoprì che se Π fosse sostituito da x nell’identità trigonometrica e(i*Π) = cos(x) + i*sin(x), il risultato era quella che oggi conosciamo come la formula di Eulero. Oltre a mettere in relazione queste cinque costanti fondamentali, la formula dimostra anche che elevare un numero irrazionale alla potenza di un numero irrazionale immaginario può risultare in un numero reale.