Las matrices son objetos matemáticos que transforman formas. El determinante de una matriz cuadrada A, denotado | A |, es un número que resume el efecto que A tiene sobre el tamaño y la orientación de una figura. Si [ab] es el vector de la fila superior para A y [cd] es su vector de la fila inferior, entonces | A | = ad-bc.
Un determinante codifica información útil sobre cómo una matriz transforma regiones. El valor absoluto del determinante indica el factor de escala de la matriz, cuánto estira o encoge una figura. Su signo describe si la matriz da la vuelta a las figuras, produciendo una imagen especular. Las matrices también pueden sesgar regiones y rotarlas, pero el determinante no proporciona esta información.
Aritméticamente, la acción transformadora de una matriz está determinada por la multiplicación de matrices. Si A es una matriz de 2 × 2 con la fila superior [ab] y la fila inferior [cd], entonces [1 0] * A = [ab] y [0 1] * A = [cd]. Esto significa que A lleva el punto (1,0) al punto (a, b) y el punto (0,1) al punto (c, d). Todas las matrices dejan el origen sin mover, por lo que se ve que A transforma el triángulo con extremos en (0,0), (0,1) y (1,0) en otro triángulo con extremos en (0,0), (a , b) y (c, d). La razón del área de este nuevo triángulo al triángulo original es igual a | ad-bc |, el valor absoluto de | A |.
El signo del determinante de una matriz describe si la matriz invierte una forma. Considerando el triángulo con extremos en (0,0), (0,1) y (1,0), si una matriz A mantiene el punto (0,1) estacionario mientras lleva el punto (1,0) al punto (-1,0), entonces ha volteado el triángulo sobre la línea x = 0. Como A ha volteado la figura, | A | será negativo. La matriz no cambia el tamaño de una región, por lo que | A | debe ser -1 para ser coherente con la regla de que el valor absoluto de | A | describe cuánto estira A una figura.
La aritmética de matrices sigue la ley asociativa, lo que significa que (v * A) * B = v * (A * B). Geométricamente, esto significa que la acción combinada de transformar primero una forma con la matriz A y luego transformar la forma con la matriz B es equivalente a transformar la forma original con el producto (A * B). Se puede deducir de esta observación que | A | * | B | = | A * B |.
La ecuación | A | * | B | = | A * B | tiene una consecuencia importante cuando | A | = 0. En ese caso, la acción de A no se puede deshacer mediante alguna otra matriz B. Esto se puede deducir observando que si A y B fueran inversos, entonces (A * B) no estira ni invierte ninguna región, por lo que | A * B | = 1. Dado que | A | * | B | = | A * B |, esta última observación lleva a la ecuación imposible 0 * | B | = 1.
También se puede demostrar la afirmación inversa: si A es una matriz cuadrada con un determinante distinto de cero, entonces A tiene una inversa. Geométricamente, esta es la acción de cualquier matriz que no aplana una región. Por ejemplo, aplastar un cuadrado en un segmento de línea se puede deshacer mediante alguna otra matriz, llamada su inversa. Tal inversa es la matriz análoga de un recíproco.