Der Satz von Bayes, manchmal auch Bayes-Regel oder das Prinzip der inversen Wahrscheinlichkeit genannt, ist ein mathematischer Satz, der sehr schnell aus den Axiomen der Wahrscheinlichkeitstheorie folgt. In der Praxis wird es verwendet, um die aktualisierte Wahrscheinlichkeit eines Zielphänomens oder einer Zielhypothese H bei gegebenen neuen empirischen Daten X und einigen Hintergrundinformationen oder einer früheren Wahrscheinlichkeit zu berechnen.
Die vorherige Wahrscheinlichkeit einer Hypothese wird normalerweise durch einen Prozentsatz zwischen 0 % und 100 % oder eine Zahl zwischen 0 und 1 dargestellt. Diese Wahrscheinlichkeit wird oft als Vertrauensgrad bezeichnet und soll von Beobachter zu Beobachter variieren, da nicht alle Beobachter haben die gleiche Erfahrung gemacht und können daher keine äquivalenten Wahrscheinlichkeitsschätzungen für eine gegebene Hypothese vornehmen. Die Anwendung des Bayesschen Theorems in einem wissenschaftlichen Kontext wird Bayessche Inferenz genannt, was eine quantitative Formalisierung der wissenschaftlichen Methode ist. Es ermöglicht die optimale Revision theoretischer Wahrscheinlichkeitsverteilungen bei gegebenen experimentellen Ergebnissen.
Der Satz von Bayes im Kontext der wissenschaftlichen Inferenz sagt Folgendes: „Die neue Wahrscheinlichkeit, dass eine Hypothese H wahr ist (sogenannte Posterior-Wahrscheinlichkeit) bei einem neuen Beweis X ist gleich der Wahrscheinlichkeit, dass wir diesen Beweis X beobachten würden, wenn H tatsächlich wahr ist (genannt bedingte Wahrscheinlichkeit oder Likelihood) mal die vorherige Wahrscheinlichkeit dafür, dass H wahr ist, alles geteilt durch die Wahrscheinlichkeit von X.“
Eine gängige Neuformulierung des Obigen in Bezug darauf, wie ein Testergebnis zur Wahrscheinlichkeit beiträgt, dass ein bestimmter Patient Krebs hat, kann wie folgt gezeigt werden:
p(positiv|Krebs)*p(Krebs)
_______________________________________________
p(positiv|Krebs)*p(~Krebs) + p(positiv|~Krebs)*p(~Krebs)
Der vertikale Balken bedeutet „gegeben“. Die Wahrscheinlichkeit, dass der Patient nach einem positiven Ergebnis bei einem bestimmten Krebstest Krebs hat, entspricht der Wahrscheinlichkeit eines positiven Ergebnisses bei einem bestimmten Krebs (abgeleitet aus früheren Ergebnissen) mal der vorherigen Wahrscheinlichkeit, dass eine bestimmte Person Krebs hat (relativ gering), alles geteilt durch das gleiche Zahl, plus die Wahrscheinlichkeit eines falschen positiven Ergebnisses mal der vorherigen Wahrscheinlichkeit, keinen Krebs zu haben.
Es klingt kompliziert, aber die obige Gleichung kann verwendet werden, um die aktualisierte Wahrscheinlichkeit jeder Hypothese bei einem quantifizierbaren experimentellen Ergebnis zu bestimmen.