Der exakte Test nach Fisher ist ein statistischer Signifikanztest, der für kleine Stichproben verwendet wird. Es ist einer von mehreren Tests zur Analyse von Kontingenztabellen, die die Interaktion von zwei oder mehr Variablen anzeigen. Dieser Test wurde vom englischen Wissenschaftler Ronald Fisher erfunden und wird als exakt bezeichnet, weil er die statistische Signifikanz genau berechnet, anstatt eine Näherung zu verwenden.
Um zu verstehen, wie der exakte Test von Fisher funktioniert, ist es wichtig zu verstehen, was eine Kontingenztabelle ist und wie sie verwendet wird. Im einfachsten Beispiel gibt es in einer Kontingenztabelle nur zwei zu vergleichende Variablen. In der Regel handelt es sich dabei um kategoriale Variablen. Stellen Sie sich zum Beispiel vor, Sie führen eine Studie darüber durch, ob das Geschlecht mit dem Besitz von Haustieren korreliert. In dieser Studie gibt es zwei kategoriale Variablen: Geschlecht, entweder männlich oder weiblich, und Haustierbesitz.
Eine Kontingenztabelle wird mit einer Variablen oben und der anderen links erstellt, so dass für jede Variablenkombination ein Kästchen vorhanden ist. Die Summen sind unten und ganz rechts angegeben. So würde eine Kontingenztabelle für die Beispielstudie bei einer Befragung von 24 Personen aussehen:
Haustierbesitzer
Kein Haustierbesitzer
GESAMT
Männlich
1
9
10
Weiblich
11
3
14
GESAMT
12
12
24
Der exakte Test von Fisher berechnet die Abweichung von der Nullhypothese, die besagt, dass die Daten keinen Bias aufweisen oder dass die beiden kategorialen Variablen nicht miteinander korrelieren. Im Fall des vorliegenden Beispiels lautet die Nullhypothese, dass Männer und Frauen gleich häufig Haustiere besitzen. Der exakte Test von Fisher wurde für Kontingenztabellen mit einer kleinen Stichprobengröße oder großen Abweichungen zwischen den Zellzahlen entwickelt, wie die oben gezeigte. Bei Kontingenztabellen mit einem großen Stichprobenumfang und ausgewogenen Zahlen in jeder Zelle der Tabelle ist der exakte Test nach Fisher nicht genau, und der Chi-Quadrat-Test wird bevorzugt.
Bei der Analyse der Daten in der obigen Tabelle dient der exakte Test von Fisher dazu, die Wahrscheinlichkeit zu bestimmen, dass der Heimtierbesitz ungleich auf Männer und Frauen in der Stichprobe verteilt ist. Wir wissen, dass zehn der 24 Befragten Haustiere besitzen und dass 12 von 24 weiblich sind. Die Wahrscheinlichkeit, dass zehn zufällig aus der Stichprobe ausgewählte Personen aus neun Frauen und einem Mann bestehen, lässt die statistische Signifikanz der Verteilung der Tierhalter in der Stichprobe vermuten.
Die Wahrscheinlichkeit wird mit dem Buchstaben p bezeichnet. Der exakte Test nach Fisher bestimmt den p-Wert für die obigen Daten, indem er die Fakultäten jeder Grenzsumme multipliziert – in der obigen Tabelle 10, 14, 12 und 12 – und das Ergebnis durch das Produkt der Fakultäten jeder Zellzahl und . dividiert der Gesamtsumme. Eine Fakultät ist das Produkt aller positiven ganzen Zahlen kleiner oder gleich einer gegebenen Zahl. 10!, ausgesprochen „zehn Fakultät“, ist daher gleich 10X9X8X7X6X5X4X3X2X1 oder 3,628,800.
Für die obige Tabelle gilt dann p= (10!)(14!)(12!)(12!)/(1!)(9!)(11!)(3!)(24!). Mit einem Taschenrechner kann man feststellen, dass die Wahrscheinlichkeit, die Zahlen in der obigen Tabelle zu erhalten, unter 2% liegt, also deutlich unter der Wahrscheinlichkeit, wenn die Nullhypothese wahr ist. Daher ist es sehr unwahrscheinlich, dass in der Studienstichprobe keine Kontingenz oder signifikante Beziehung zwischen Geschlecht und Haustierhaltung besteht.