Eine Mandlebrot-Menge ist ein Fraktal, das mit einer iterativen komplexen Funktion geplottet werden kann. Ein Fraktal ist ein mathematisch erzeugtes Bild, das rau, unregelmäßig und komplex ist. Ein Fraktal besitzt auch auf vielen Vergrößerungsstufen Selbstähnlichkeit, so dass winzige Teile des Fraktals größeren Teilen ähneln. Fraktale erscheinen weiterhin komplex, egal wie sehr Sie sie vergrößern, was einige dazu veranlasst, zu sagen, dass sie unendlich komplex sind. Die Mandlebrot-Menge ist das berühmteste Beispiel für ein Fraktal, bestehend aus einer Karde, einem kreisförmigen Objekt mit einem Grübchen auf einer Seite, umgeben von immer kleineren Anordnungen von Nahkreisen und interessanten Spiralmustern, die alle tangential zueinander sind.
Die zugrunde liegende Mathematik der Mandlebrot-Menge wurde 1905 von Pierre Fatou entwickelt, einem französischen Mathematiker, der das Gebiet der komplexen analytischen Dynamik erforscht. Es machte ihm Spaß, das Verhalten rekursiver Prozesse zu studieren, Funktionen, deren Ausgaben in ihre Eingaben zurückgeführt wurden. Fatou versuchte, einige seiner komplexen Mengen von Hand zu zeichnen, aber es waren zu viele Berechnungen erforderlich, um das vollständige Bild bestimmter Mengen (einschließlich der Mandlebrot-Menge) erscheinen zu lassen. Erst mit der Verbreitung von Desktop-Computern wurde das Plotten dieses Sets praktisch.
Die Mandlebrot-Menge wurde zuerst von Professor Benoît Mandlebrot entworfen, einem Mathematiker, der den Begriff Fraktal prägte und die Idee in einem 1975 erschienenen Buch mit dem Titel Fractal Objects: Form, Chance and Dimension popularisierte. Bevor sie Fraktale genannt wurden, wurden diese Strukturen als „Monsterkurven“ bezeichnet.
Mandlebrot sah Verbindungen zwischen Fraktalen wie seiner Mandlebrot-Menge und realen Phänomenen, was ihn dazu veranlasste, die Verbindungen im Detail zu studieren. Fraktalartige Strukturen finden sich in der Natur, zum Beispiel bei der Anordnung von Blütenblättern an bestimmten Blumen. Mandlebrot wies darauf hin, dass reale Formen in der Natur niemals die langweilige Regelmäßigkeit euklidischer geometrischer Strukturen aufweisen, sondern eher Fraktalen ähneln. Andere Beispiele sind Formen in Küstenlinien und Flüssen, Pflanzen, Blutgefäßen und Lungen, Galaxienhaufen, Brownsche Bewegung und Muster auf dem Aktienmarkt.
Da das Mandlebrot-Set so komplex ist und solche Variationen aufweist, haben Hobbyisten Tausende von Stunden damit verbracht, einzigartige Strukturen innerhalb des Sets zu finden, sie farblich zu kodieren und mit anderen zu teilen. Auf den kleinsten Maßstäben finden sich äußerlich ähnliche Strukturen wie das gesamte Set, manchmal nur durch winzige Ranken mit dem Hauptset verbunden. Die scheinbare Komplexität des Sets nimmt mit der Vergrößerung sogar zu. Heute stehen Bastlern gute Softwareanwendungen zur Verfügung, um die Mandlebrot-Menge und andere Fraktale zu zeichnen und ihr Aussehen zu studieren.