L’interpolazione implica la scoperta di un modello in un insieme di punti dati per stimare un valore tra due punti. L’interpolazione lineare è uno dei modi più semplici per eseguire l’interpolazione: una linea che collega due punti viene utilizzata per stimare i valori intermedi. I polinomi di ordine superiore possono sostituire le funzioni lineari per risultati più accurati, ma più complicati. L’interpolazione può essere contrastata con l’estrapolazione, che viene utilizzata per stimare valori al di fuori di un insieme di punti anziché tra di essi.
Un insieme discreto di punti dati ha punti con due o più coordinate. In un tipico grafico a dispersione XY, la variabile orizzontale è x e la variabile verticale è y. I punti dati con una coordinata x e y possono essere tracciati su questo grafico per una facile visualizzazione. Nelle applicazioni pratiche, sia x che y rappresentano quantità finite del mondo reale. X rappresenta generalmente una variabile indipendente, come il tempo o lo spazio, mentre y rappresenta una variabile dipendente, come la popolazione.
Spesso, i dati possono essere raccolti solo in punti discreti. Nell’esempio del monitoraggio della popolazione di un paese, un censimento può essere effettuato solo in determinati momenti. Queste misurazioni possono essere tracciate come punti dati discreti su un grafico XY.
Se un censimento viene effettuato solo ogni cinque anni, è impossibile conoscere l’esatta popolazione tra i censimenti. Nell’interpolazione lineare, due punti dati sono collegati con una funzione lineare. Ciò significa che si presume che la variabile dipendente (popolazione) cambi a una velocità costante per raggiungere il punto dati successivo. Se è necessaria la popolazione a un anno dal censimento, si potrebbe interpolare linearmente i due punti dati per stimare un valore intermedio basato sulla linea di collegamento. È tipicamente ovvio che la variabile reale non cambia linearmente tra i punti dati, ma questa semplificazione è spesso sufficientemente accurata.
A volte, tuttavia, l’interpolazione lineare introduce troppi errori nelle sue stime. La popolazione, ad esempio, mostra una crescita esponenziale in molti scenari. Nella crescita esponenziale, il tasso di crescita stesso è in aumento: una popolazione più alta porta a più nascite, il che aumenta il tasso totale con cui aumenta la popolazione. In un grafico a dispersione XY, questo tipo di comportamento mostrerebbe una tendenza “curva verso l’alto”. Un metodo di interpolazione più accurato può essere appropriato per questo tipo di studio.
L’interpolazione polinomiale implica il collegamento di numerosi punti dati con una funzione polinomiale. Una funzione lineare è in realtà una semplice varietà di una funzione polinomiale, ovvero un polinomio di ordine uno. I polinomi, tuttavia, possono avere ordini superiori a uno: l’ordine due è una parabola, l’ordine tre è una funzione cubica e così via. Un insieme di punti dati della popolazione potrebbe essere interpolato meglio con una funzione polinomiale rispetto a una funzione lineare perché la prima può curvare verso l’alto e verso il basso per corrispondere ai dati.