Le derivate complesse sono descrizioni dei tassi di variazione di funzioni complesse, che operano in campi di valori che includono numeri immaginari. Raccontano ai matematici il comportamento di funzioni difficili da visualizzare. La derivata di una funzione complessa f in x0, se esiste, è data dal limite quando x si avvicina a x0 di (f(x)- f(x0))/(x- x0).
Le funzioni associano i valori in un campo con i valori in un altro campo, che è un’azione chiamata mappatura. Quando uno o entrambi questi campi contengono numeri che fanno parte del campo dei numeri complessi, la funzione viene chiamata funzione complessa. Le derivate complesse derivano da funzioni complesse, ma non tutte le funzioni complesse hanno una derivata complessa.
Gli insiemi di valori che una funzione complessa mappa a e da devono includere numeri complessi. Questi sono valori che possono essere rappresentati da a + bi, dove a e b sono numeri reali e i è la radice quadrata di uno negativo, che è un numero immaginario. Il valore di b può essere zero, quindi tutti i numeri reali sono anche numeri complessi.
I derivati sono tassi di cambiamento di funzioni. In genere, la derivata è una misura delle unità di variazione su un asse per ogni unità di un altro asse. Ad esempio, una linea orizzontale su un grafico bidimensionale avrebbe una derivata zero, perché per ogni unità di x, il valore di y cambia di zero. I derivati istantanei, che vengono utilizzati più spesso, forniscono il tasso di variazione in un punto della curva piuttosto che in un intervallo. Questa derivata è la pendenza della retta tangente alla curva nel punto desiderato.
La derivata, tuttavia, non esiste ovunque su ogni funzione. Se una funzione ha un angolo, ad esempio, la derivata non esiste all’angolo. Questo perché la derivata è definita da un limite e se la derivata fa un salto da un valore all’altro, allora il limite è inesistente. Una funzione che ha derivate si dice differenziabile. Una condizione per la differenziabilità nelle funzioni complesse è che le derivate parziali, o le derivate per ogni asse, debbano esistere ed essere continue nel punto in questione.
Le funzioni complesse che hanno derivate complesse devono soddisfare anche le condizioni chiamate funzioni di Cauchy-Riemann. Questi richiedono che le derivate complesse siano le stesse indipendentemente da come è orientata la funzione. Se le condizioni specificate dalle funzioni sono soddisfatte e le derivate parziali sono continue, allora la funzione è differenziabile complessa.