Molte equazioni possono essere semplificate espandendo i logaritmi. Il termine “logaritmi in espansione” non si riferisce a logaritmi che si espandono ma piuttosto a un processo mediante il quale un’espressione matematica viene sostituita con un’altra secondo regole specifiche. Ci sono tre di queste regole. Ciascuno di essi corrisponde a una particolare proprietà degli esponenti perché prendere un logaritmo è l’inverso funzionale dell’elevamento a potenza: log3(9) = 2 perché 32= 9.
La regola più comune per espandere i logaritmi viene utilizzata per separare i prodotti. Il logaritmo di un prodotto è la somma dei rispettivi logaritmi: loga(x*y) = loga(x) + loga(y). Questa equazione è derivata dalla formula ax * ay = ax+y. Può essere esteso a più fattori: loga(x*y*z*w) = loga(x) + loga(y) + loga(z) + loga(w).
Elevare un numero a una potenza negativa equivale ad elevare il suo reciproco a una potenza positiva: 5-2 = (1/5)2 = 1/25. La proprietà equivalente per i logaritmi è che loga(1/x) = -loga(x). Quando questa proprietà è combinata con la regola del prodotto, fornisce una legge per prendere il logaritmo di un rapporto: loga(x/y) = loga(x) – loga(y).
L’ultima regola per espandere i logaritmi riguarda il logaritmo di un numero elevato a potenza. Usando la regola del prodotto, si trova che loga(x2) = loga(x) + loga(x) = 2*loga(x). Allo stesso modo, loga(x3) = loga(x) + loga(x) + loga(x) = 3*loga(x). In generale, loga(xn) = n*loga(x), anche se n non è un numero intero.
Queste regole possono essere combinate per espandere le espressioni di registro di carattere più complesso. Ad esempio, si può applicare la seconda regola a loga(x2y/z), ottenendo l’espressione loga(x2y) – loga(z). Quindi la prima regola può essere applicata al primo termine, ottenendo loga(x2) + loga(y) – loga(z). Infine, l’applicazione della terza regola porta all’espressione 2*loga(x) + loga(y) – loga(z).
L’espansione dei logaritmi consente di risolvere rapidamente molte equazioni. Ad esempio, qualcuno potrebbe aprire un conto di risparmio con 400 dollari USA. Se il conto paga un interesse annuo del 2% composto mensilmente, il numero di mesi necessari prima che il conto raddoppi di valore può essere trovato con l’equazione 400*(1 + 0.02/12)m = 800. Dividendo per 400 rendimenti (1 + 0.02/ 12)m = 2. Prendendo il logaritmo in base 10 di entrambi i membri si ottiene l’equazione log10(1 + 0.02/12)m = log10(2).
Questa equazione può essere semplificata utilizzando la regola della potenza in m*log10(1 + 0.02/12) = log10(2). Utilizzando una calcolatrice per trovare i logaritmi si ottiene m*(0.00072322) = 0.30102. Risolvendo per m, si scopre che ci vorranno 417 mesi prima che il conto raddoppi di valore se non viene depositato denaro aggiuntivo.