Die Kronecker-Deltafunktion, mit i,j bezeichnet, ist eine binäre Funktion, die gleich 1 ist, wenn i und j gleich sind, andernfalls gleich 0 ist. Obwohl es technisch eine Funktion von zwei Variablen ist, wird es in der Praxis als Notation verwendet, um komplizierte mathematische Aussagen kompakt zu schreiben. Mathematiker, Physiker und Ingenieure, die sich mit linearer Algebra, Tensoranalyse und digitaler Signalverarbeitung befassen, verwenden die Kronecker-Deltafunktion als Hilfsmittel, um in einer einzigen Gleichung zu übertragen, was sonst mehrere Textzeilen erfordern würde.
Diese Funktion wird am häufigsten verwendet, um das Schreiben von Gleichungen zu vereinfachen, die die Sigma-Notation beinhalten, die selbst eine prägnante Methode zur Bezugnahme auf komplizierte Summen ist. Wenn ein Unternehmen beispielsweise 30 Mitarbeiter {e1, e2 … e30} hat und jeder Mitarbeiter eine andere Stundenzahl {h1, h2 … h30} zu einem anderen Stundensatz {r1, r2 … r30} arbeitet, wird das Gesamtgeld bezahlt diesen Arbeitnehmern für ihre Arbeit gleich e1*h1*r1 + e2*h2*r2 + e3*h3*r3 + … e30*h30*r30. Mathematiker können dies prägnant schreiben als ∑i ei*hi*ri.
Bei der Beschreibung physikalischer Systeme mit mehreren Dimensionen müssen Physiker häufig doppelte Summationen verwenden. Die praktischen wissenschaftlichen Anwendungen sind sehr komplex, aber ein konkretes Beispiel zeigt, wie die Kronecker-Deltafunktion in diesen Fällen Ausdrücke vereinfachen kann.
Es gibt drei Bekleidungsgeschäfte in einem Einkaufszentrum, die jeweils eine andere Marke verkaufen. Insgesamt stehen 20 Hemden-Modelle zur Verfügung: acht von Filiale 1, sieben von Filiale 2 und fünf von Filiale 3. Zwölf Hosenarten sind erhältlich: fünf von Filiale 1, drei von Filiale 2 und vier von Filiale 3. 240 mögliche Outfits kann man kaufen, denn es gibt 20 Optionen für das Hemd und 12 Optionen für die Hose. Jede Kombination ergibt ein anderes Outfit.
Es ist nicht so einfach, die Anzahl der Möglichkeiten zu berechnen, ein Outfit auszuwählen, bei dem Hemd und Hose aus verschiedenen Geschäften stammen. Man kann ein Hemd aus Geschäft 1 und eine Hose aus Geschäft 2 auf 8*3 Arten auswählen. Es gibt 8*4 Möglichkeiten, ein Hemd aus Geschäft 1 und eine Hose aus Geschäft 3 auszuwählen. Wenn Sie auf diese Weise fortfahren, finden Sie die Gesamtzahl der Outfits, die Artikel aus verschiedenen Geschäften verwenden, 8*3 + 8*4 + 7*5 + 7 *4 + 5*5 + 5*3 = 199.
Man könnte die Verfügbarkeit von Hemden und Hosen als zwei Folgen betrachten, {s1, s2, s3} = {8, 7, 5} und {p1, p2, p3} = {5, 3, 4}. Dann erlaubt die Kronecker-Deltafunktion, diese Summe einfach als ∑i ∑jsi * pj * (1- δi,j) zu schreiben. Der (1- δi,j)-Term eliminiert jene Outfits, die ein Hemd und eine Hose umfassen, die im selben Geschäft gekauft wurden, da in diesem Fall i = j, also δi,j = 1 und (1- δi,j) = 0 ist. Multiplizieren des Termes durch 0 entfernt es aus der Summe.
Die Kronecker-Delta-Funktion wird am häufigsten bei der Analyse mehrdimensionaler Räume verwendet, kann aber auch bei der Untersuchung eindimensionaler Räume wie dem reellen Zahlenstrahl verwendet werden. In diesem Fall wird oft eine Single-Input-Variante verwendet: δ(n) = 1 if n = 0; (n) = 0 sonst. Um zu sehen, wie die Kronecker-Deltafunktion verwendet werden kann, um komplexe mathematische Aussagen über die reellen Zahlen zu vereinfachen, könnte man die folgenden zwei Funktionen betrachten, deren Eingaben vereinfachte Brüche sind:
f(a/b) = a wenn a =b+1, f(a/b) = -b wenn b=a+1 und f(a/b) = 0 sonst.g(a/b) = a *δ(ab-1) –b*δ(a-b+1)
Die Funktionen f und g sind identisch, aber die Definition für g ist kompakter und erfordert kein Englisch, sodass sie von jedem Mathematiker der Welt verstanden werden kann.
Wie durch diese Beispiele veranschaulicht, sind die Eingaben der Kronecker-Deltafunktion typischerweise ganze Zahlen, die mit einer bestimmten Wertefolge verbunden sind. Die Dirac-Deltaverteilung ist ein kontinuierliches Analogon der Kronecker-Deltafunktion, die verwendet wird, wenn Funktionen integriert werden, anstatt Folgen zu summieren.