Ein Vektorfeld ist eine Funktion, die Vektoren verschiedenen Zeitpunkten und Raum zuordnet. Es gibt zwei Arten von Vektorfeldern: Geschwindigkeitsvektorfelder und Kraftfelder. Vektorfelder werden in der Vektorrechnung sowohl von Mathematikern als auch von Physikern untersucht.
Ein Vektor wird als Pfeil betrachtet, der am Ursprung einer Ebene beginnt und zu einem Punkt im Raum geht. Dieser Punkt ist im Grunde ein Zahlenpaar, das im euklidischen Raum aufgetragen werden kann. Vektoren werden in Physik und Mathematik studiert und zur Modellierung von Geschwindigkeit und Kraft verwendet. Wenn zwei Vektoren addiert werden, ergibt sich eine Kraft von zwei Einzelkräften, die gleichzeitig auf dasselbe Objekt ausgeübt werden. Viele Vektoren bilden ein Vektorfeld, und dieses wird verwendet, um Kräfte an allen Punkten in Zeit und Raum zu symbolisieren.
Die Domäne eines Vektorfeldes ist eine Menge von Punkten, und ihr Bereich ist eine Menge von Vektoren. Ein Vektorfeld ist also im Wesentlichen eine Funktion, die jedem Punkt in einer zwei- oder dreidimensionalen Ebene einen zwei- oder dreidimensionalen Vektor zuordnet. Dreidimensionale Vektorfelder sind in der Regel von Hand zu schwer zu zeichnen und erfordern die Unterstützung eines Computeralgebrasystems.
Vektoren und das von ihnen gebildete Vektorfeld werden auf Ereignisse des täglichen Lebens angewendet. Sie können beispielsweise Windgeschwindigkeiten darstellen, die während eines Tornados oder verschiedener Meeresströmungsmuster auftreten. Geschwindigkeitsvektorfelder geben Geschwindigkeit und Richtung an und wurden verwendet, um die Geschwindigkeit anzuzeigen, mit der sich Luft an Tragflächen vorbeibewegt. Ein Kraftfeld ist eine andere Art von Vektorfeld, das jeden Punkt in Zeit und Raum mit einem Kraftvektor korreliert. Solche Vektorfelder sind besonders nützlich bei der Modellierung von Magnet- und Gravitationskräften.
Mathematiker und Physiker können auch Linien- und Flächenintegrale von Vektorfeldern berechnen. Ein Linienintegral kann man sich als „Kurvenintegral“ vorstellen und wird oft verwendet, um herauszufinden, wie sich ein Objekt entlang einer Kurve bewegt. Oberflächenintegrale können verwendet werden, um die Geschwindigkeit zu ermitteln, mit der sich Flüssigkeit über eine Oberfläche bewegt.
Ein Vektorfeld kann als konservativ angesehen werden, wenn das Feld einen Gradienten einer Skalarfunktion darstellt. Das heißt, das Feld repräsentiert eine Steigung oder eine Steigung. Nicht alle Vektorfelder sind konservativ, aber sie tauchen regelmäßig in der Physik auf.