Extrapolieren bedeutet, das bekannte Verhalten von etwas zu verwenden, um sein zukünftiges Verhalten vorherzusagen. Ein Beobachter kann extrapolieren, indem er eine Formel verwendet, Daten in einem Diagramm arrangiert oder in ein Computermodell programmiert. Nach der wissenschaftlichen Methode ist die Extrapolation eine Technik, die ein Analytiker anwendet, um aus verschiedenen Formen von gesammelten Daten zu verallgemeinern. Die Art der verwendeten mathematischen Extrapolation hängt davon ab, ob die gesammelten Daten kontinuierlich oder periodisch sind.
Ein alltägliches Beispiel für die Hochrechnung wird veranschaulicht, wie Fußgänger belebte Straßen sicher überqueren. Wenn Fußgänger eine Straße überqueren, sammeln sie unwissentlich Informationen über die Geschwindigkeit eines auf sie zukommenden Autos. Zum Beispiel kann das Auge das sich ausdehnende Erscheinungsbild der Scheinwerfer zu mehreren verschiedenen Zeitpunkten erfassen, und dann extrapoliert oder projiziert das Gehirn die Bewegung des Fahrzeugs in die Zukunft, um zu beurteilen, ob das Fahrzeug den Standort des Fußgängers früher erreicht, oder nachdem er oder sie die Straße überqueren konnte.
In der angewandten Mathematik kann eine Formel gefunden werden, die mit allen Daten übereinstimmt, die über das Verhalten des physikalischen Universums gesammelt wurden – eine Extrapolation, die als Kurvenanpassung bezeichnet wird. Jede an die Daten angepasste Kurve weist eine Gleichung auf, von der bekannt ist, dass sie andere gut dokumentierte, ähnliche Verhaltensweisen repräsentiert. Konstanten und Potenzen der verallgemeinerten Gleichungen können an die Daten angepasst werden, um Änderungen in den Daten außerhalb des erfassten Bereichs vorherzusagen oder zu extrapolieren. In Computermodellen, bei denen Daten an bestimmten Orten bekannt sind und an anderen nicht, kann ein kontinuierliches Spektrum von Vorhersagedaten generiert werden. Wenn Daten zwischen bekannten Datenpunkten generiert werden, wird der Prozess normalerweise als Interpolation bezeichnet, aber es gelten die gleichen Methoden: Computersoftware zur Modellierung von Festkörpern verwendet Finite-Elemente-Methoden zur Interpolation, während Programme zur Modellierung von Flüssigkeiten Finite-Volumen-Methoden verwenden.
Einige Formen der Extrapolation hängen von den Ausdrücken der mathematischen Gleichungen ab, die verwendet werden, um die Daten anzupassen – linear, polynomial und exponentiell. Wenn zwei Datensätze mit einer konstanten Rate voneinander abweichen, ist die Extrapolation linear – sie kann durch eine Linie mit konstanter Steigung dargestellt werden. Ein Beispiel für eine Polynomextrapolation sind Daten, die an konische und komplexere Formen angepasst sind, die Gleichungen dritter, vierter oder höherer Ordnung enthalten. Je höher die Ordnung der Gleichung, desto mehr Schwingungen, Kurven oder Wellen repräsentieren die Daten. Zum Beispiel gibt es so viele Maxima und Minima in den Daten wie die Ordnung der am besten passenden Gleichung.
Die exponentielle Extrapolation umfasst Datensätze, die entweder exponentiell wachsen oder abfallen. Geometrisches Wachstum oder Zerfall ist ein Beispiel für exponentielle Extrapolation. Diese Arten von Projektionen können als Bevölkerungskurven visualisiert werden, die Geburten- und Sterberaten zeigen – Wachstum und Verfall der Bevölkerung. Zum Beispiel haben zwei Eltern zwei Kinder, aber diese beiden haben jeweils zwei, so dass in drei Generationen die Anzahl der Urenkel zwei hoch drei beträgt oder ein Exponent von drei – zwei multipliziert mit sich selbst dreimal – ergibt bei acht Urenkeln.
Die Güte der extrapolierten Daten hängt sowohl von der Methode der Erhebung der Originaldaten als auch von der gewählten Extrapolationsmethode ab. Daten können glatt und kontinuierlich sein, wie die Bewegung eines bergab rollenden Fahrrads. Es kann auch ruckartig sein, wenn ein Radfahrer sein Fahrrad in Anfällen bergauf zwingt. Um erfolgreich extrapolieren zu können, muss der Analytiker die Merkmale des Verhaltens erkennen, das er modellieren möchte.