Was ist Mengenlehre?

Die Mengenlehre bildet den größten Teil der Grundlage der modernen Mathematik und wurde Ende des 1800. Jahrhunderts formalisiert. Die Mengenlehre beschreibt einige sehr grundlegende und intuitive Ideen darüber, wie Dinge, die „Elemente“ oder „Mitglieder“ genannt werden, zu Gruppen zusammengefügt werden. Trotz der scheinbaren Einfachheit der Ideen ist die Mengenlehre ziemlich streng. In dem Bestreben, jede Willkür in ihren Theorien zu beseitigen, haben Mathematiker im Laufe der Jahre die Mengenlehre in beeindruckendem Maße verfeinert.

In der Mengenlehre ist eine Menge jede wohldefinierte Gruppe von Elementen oder Mitgliedern. Mengen werden normalerweise durch kursive Großbuchstaben wie A oder B symbolisiert. Wenn zwei Mengen die gleichen Elemente enthalten, können sie mit einem Gleichheitszeichen als Äquivalent dargestellt werden.
Der Inhalt eines Sets lässt sich in einfachem Englisch beschreiben: A = alle terrestrischen Säugetiere. Der Inhalt kann auch in Klammern angegeben werden: A = {Bären, Kühe, Schweine usw.} Bei großen Mengen können Ellipsen verwendet werden, bei denen das Muster der Menge offensichtlich ist. Beispiel: A = {2, 4, 6, 8… 1000}. Eine Art von Menge hat null Mitglieder, die Menge, die als leere Menge bekannt ist. Es wird durch eine Null mit einer von links nach rechts aufsteigenden diagonalen Linie symbolisiert. Obwohl es scheinbar trivial ist, erweist es sich mathematisch als sehr wichtig.

Einige Mengen enthalten andere Mengen und werden daher als Supermengen bezeichnet. Die enthaltenen Mengen sind Teilmengen. In der Mengenlehre wird diese Beziehung als „Einschluss“ oder „Eindämmung“ bezeichnet, symbolisiert durch eine Notation, die aussieht wie der Buchstabe U, der um 90 Grad nach rechts gedreht ist. Grafisch kann dies als Kreis dargestellt werden, der in einem anderen, größeren Kreis enthalten ist.

Einige gebräuchliche Mengen in der Mengenlehre umfassen N, die Menge aller natürlichen Zahlen; Z, die Menge aller ganzen Zahlen; Q, die Menge aller rationalen Zahlen; R, die Menge aller reellen Zahlen; und C, die Menge aller komplexen Zahlen.
Wenn sich zwei Mengen überlappen, aber keine vollständig in die andere eingebettet ist, wird das Ganze als Vereinigung von Mengen bezeichnet. Dies wird durch ein Symbol dargestellt, das dem Buchstaben U ähnelt, jedoch etwas breiter ist. In der Mengennotation bedeutet AUB „die Menge von Elementen, die entweder Mitglieder von A oder B sind“. Drehen Sie dieses Symbol auf den Kopf, und Sie erhalten den Schnittpunkt von A und B, der sich auf alle Elemente bezieht, die Mitglieder beider Mengen sind. In der Mengenlehre können auch Mengen voneinander „subtrahiert“ werden, wodurch Komplemente entstehen. B – A ist beispielsweise äquivalent zu der Menge von Elementen, die Mitglieder von B sind, aber nicht A.

Aus den obigen Grundlagen leitet sich der größte Teil der Mathematik ab. Nahezu alle mathematischen Systeme enthalten Eigenschaften, die grundsätzlich mengentheoretisch beschrieben werden können.