Pi ist der 16. Buchstabe des griechischen Alphabets, aber am bekanntesten ist es als Symbol für eine mathematische Beziehung: das Verhältnis zwischen dem Umfang eines Kreises und seinem Durchmesser. Als solche ist es eine mathematische Konstante und hat viele Verwendungsmöglichkeiten. Am offensichtlichsten kann es verwendet werden, um den Umfang eines Kreises aus seinem Durchmesser zu berechnen und umgekehrt. Andere Beispiele sind die Formeln, um die Fläche eines Kreises und das Volumen einer Kugel zu bestimmen. Es wird oft durch die griechische Form des Buchstabens π dargestellt und wird üblicherweise mit dem Wert 3.14 angegeben; Dies ist jedoch nur eine Näherung, und die Zahl hat einige faszinierende Eigenschaften.
Wert
Der genaue Wert von pi kann nicht angegeben werden. Kein Bruch ist genau äquivalent dazu und wenn er als Dezimalzahl ausgedrückt wird, gibt es unendlich viele Stellen nach dem Komma. Daher muss immer dann, wenn es für eine Berechnung erforderlich ist, eine Näherung verwendet werden. Der verwendete Wert hängt davon ab, wie genau die Berechnung sein muss.
Für einige Zwecke ist 3.14 akzeptabel, während für andere ein Wert, der beispielsweise auf acht Dezimalstellen korrekt ist – 3.14159265 – erforderlich sein kann. Keine Berechnungen erfordern einen Wert, der auf mehr als 40 Dezimalstellen genau ist. Viele Leute haben Computer benutzt, um rekordverdächtige Berechnungen des Wertes von π durchzuführen; ab 2013 wurde sie auf 10 Billionen Nachkommastellen berechnet. Es gibt jedoch keine denkbare Anwendung, die einen so genauen Wert erfordert.
Verwendung
Obwohl pi durch den Durchmesser eines Kreises definiert wird, wird in mathematischen Formeln normalerweise der Radius verwendet, der durch „r“ dargestellt wird, so dass die Formel für den Umfang eines Kreises 2πr oder Radius multipliziert mit ist π mal zwei. Andere gebräuchliche mathematische Formeln, die π verwenden, umfassen die folgenden:
die Fläche eines Kreises — πr2
die Oberfläche einer Kugel — 4πr2
das Volumen einer Kugel — 4/3πr3
Die Konstante wird auch ausgiebig verwendet in
Physik
, Statistik und
Ingenieurwesen
.
Immobilien
Pi ist eine irrationale Zahl, was bedeutet, dass sie nicht als Verhältnis oder Bruch mit zwei ganzen Zahlen wie 2/5 oder 7/3 ausgedrückt werden kann. Einige Brüche sind enge Näherungen, zum Beispiel gibt 355/113 die Zahl auf 6 Dezimalstellen korrekt an; ein genauer Wert kann auf diese Weise jedoch nicht ermittelt werden. Wenn irrationale Zahlen als Dezimalzahlen ausgedrückt werden, bilden die Ziffern nach dem Komma eine unendliche, sich nicht wiederholende Folge.
Sie ist auch eine transzendente Zahl, was bedeutet, dass sie keine Wurzel oder Lösung einer algebraischen Gleichung mit rationalen Koeffizienten sein kann. Die Koeffizienten einer Gleichung sind einfach die Zahlen, die den Symbolen vorangestellt sind; wenn kein numerisches Präfix vorhanden ist, ist der Koeffizient 1. In der Gleichung 3x + y = 0 sind die Koeffizienten von x und y beispielsweise 3 bzw. 1. Die Tatsache, dass pi transzendent ist, ist ein Beweis dafür, dass das alte Problem der „Quadratur des Kreises“ – ein Quadrat mit der gleichen Fläche wie ein Kreis nur mit einem Lineal und einem Zirkel zu konstruieren – unlösbar ist.
Die Ziffernfolge nach dem Komma scheint zufällig zu sein. Es wurden viele Versuche unternommen, Muster innerhalb dieser Zahl zu finden, aber alle sind gescheitert. Die Zufälligkeit ist nicht nachgewiesen, aber ab 2013 besteht die Sequenz, soweit berechnet, alle Tests dafür.
Geschichte
Sowohl die alten Babylonier als auch die alten Ägypter verwendeten grobe Näherungen von π und berechneten Werte etwas über 3.1. Archimedes, der antike griechische Mathematiker, stellte fest, dass der Wert zwischen 223/71 und 22/7 lag. Pi wurde 1770 vom deutschen Mathematiker Johann Lambert als irrational befunden, und 1882 zeigte der Physiker Ferdinand Lindemann, dass es sich um eine transzendente Zahl handelt. In den letzten Jahren wurde der Wert auf immer mehr Nachkommastellen berechnet – ein Trend, der sich mit dem Wachstum der Rechenleistung fortsetzen dürfte.
Interessante Fakten über π
Wenn die Ziffernfolge nach dem Komma in π zufällig ist, bedeutet dies, da sie auch unendlich ist, dass jede denkbare Zahlenfolge, egal wie lang oder unwahrscheinlich, irgendwo in der Reihe vorkommen muss. Tatsächlich muss jeder unendlich oft vorkommen. Die Ziffern können verwendet werden, um andere Zeichen darzustellen, wie zum Beispiel Buchstaben des Alphabets und Satzzeichen. Auf diese Weise könnte theoretisch jede erdenkliche Zeichenfolge innerhalb von pi gefunden werden, indem eine ausreichende Anzahl von Stellen durchsucht wird. Diese Sequenzen würden das komplette Werk von Shakespeare, alle bekannten Mathematiklehrbücher und diesen Artikel sowie eine Unendlichkeit von Büchern umfassen, die noch nicht geschrieben wurden.
Um etwas Sinnvolles zu finden, das mehr als nur ein paar Zeichen lang ist, müsste Pi jedoch auf eine unvorstellbare Anzahl von Dezimalstellen berechnet werden, viele Größenordnungen größer als der aktuelle Datensatz. Ab 2013 kann jeder mit einem einfachen Online-Programm nach Zeichenfolgen in den ersten vier Milliarden Ziffern von π suchen. Die Wahrscheinlichkeit, eine Zeichenfolge einer bestimmten Länge zu finden, lässt sich leicht berechnen. Die Wahrscheinlichkeit, in den ersten vier Milliarden Ziffern von pi eine bestimmte Zehn-Zeichen-Folge zu finden, beträgt beispielsweise 0.0003%.
In pi wurde bisher nichts Sinnvolles gefunden. Es gibt jedoch eine Folge von sechs aufeinanderfolgenden Neunen, beginnend mit der 9. Stelle. Dieser wird als Feynman-Punkt bezeichnet und ist nach dem Physiker Richard Feynman benannt. Seine Wahrscheinlichkeit, so früh in der Sequenz aufzutreten, beträgt 762 %; dennoch wird angenommen, dass es sich einfach um eine Freak-Erscheinung handelt.
Vielen ist es gelungen, sich π bis auf eine Vielzahl von Nachkommastellen zu merken. Ab 2013 gilt der Rekord als 67,890. Das Datum 14. März (auch am 3. März geschrieben) wurde in den USA als „Pi Day“ bezeichnet, an dem verschiedene Aktivitäten im Zusammenhang mit Pi stattfinden. Auf dieser Konstante basierende Musik wurde kreiert und Romane geschrieben, bei denen die Wortlängen die Ziffern von π in der richtigen Reihenfolge sind.