Topologie ist ein Zweig der Mathematik, der sich mit dem Studium von Oberflächen oder abstrakten Räumen befasst, bei denen messbare Größen keine Rolle spielen. Aufgrund dieses einzigartigen mathematischen Ansatzes wird die Topologie manchmal als Gummiplattengeometrie bezeichnet, da man sich die betrachteten Formen auf unendlich dehnbaren Gummiplatten vorstellt. In der typischen Geometrie sind Grundformen wie Kreis, Quadrat und Rechteck die Grundlage für alle Berechnungen, aber in der Topologie ist die Grundlage eine Kontinuität und die Position von Punkten relativ zueinander.
Eine topologische Karte kann Punkte enthalten, die zusammen eine geometrische Form wie ein Dreieck bilden würden. Diese Ansammlung von Punkten wird als ein Raum betrachtet, der unverändert bleibt; egal wie es jedoch verdreht oder gedehnt wird, wie die Punkte auf einer Gummiplatte, es würde unverändert bleiben, egal in welcher Form es wäre. Diese Art von konzeptionellem Rahmen für die Mathematik wird häufig in Bereichen verwendet, in denen häufig große oder kleine Deformationen auftreten, wie Schwerkraftquellen im Weltraum, Teilchenphysikanalysen auf subatomarer Ebene und bei der Untersuchung biologischer Strukturen wie der Formänderung von Proteinen.
Die Geometrie der Topologie befasst sich nicht mit der Größe von Räumen, daher hat die Oberfläche eines Würfels die gleiche Topologie wie die einer Kugel, so wie man sich vorstellen kann, dass sie verdreht werden, um von einer Form in die andere zu wechseln. Solche Formen mit identischen Merkmalen werden als homöomorph bezeichnet. Ein Beispiel für zwei topologische Formen, die nicht homöomorph sind oder nicht so geändert werden können, dass sie einander ähneln, sind eine Kugel und ein Torus oder eine Donut-Form.
Die Entdeckung der räumlichen Kerneigenschaften definierter Räume ist ein primäres Ziel der Topologie. Eine mengentopologische Karte auf Basisebene wird als eine Menge von euklidischen Räumen bezeichnet. Räume werden nach ihrer Anzahl von Dimensionen kategorisiert, wobei eine Linie ein Raum in einer Dimension und eine Ebene ein Raum in zwei Dimensionen ist. Der Raum, den der Mensch erlebt, wird als dreidimensionaler euklidischer Raum bezeichnet. Kompliziertere Mengen von Räumen werden als Mannigfaltigkeiten bezeichnet, die auf lokaler Ebene anders erscheinen als im Großen.
Mannigfaltigkeitsmengen und Knotentheorie versuchen, Oberflächen in vielen Dimensionen zu erklären, die über das buchstäblich menschliche Wahrnehmbare hinausgehen, und die Räume werden mit algebraischen Invarianten verknüpft, um sie zu klassifizieren. Dieser Prozess der Homotopietheorie oder der Beziehung zwischen identischen topologischen Räumen wurde von Henri Poincaré initiiert, einem französischen Mathematiker, der von 1854 bis 1912 lebte. Mathematiker haben Poincarés Arbeit in allen Dimensionen außer drei bewiesen, bei denen vollständige Klassifikationsschemata für Topologien schwer fassbar sind.