Casi todos los objetos matemáticos se pueden expresar de múltiples formas. Por ejemplo, la fracción 2/6 es equivalente a 5/15 y -4 / -12. Una forma canónica es un esquema específico que los matemáticos usan para describir objetos de una clase determinada de una manera codificada y única. Cada objeto de la clase tiene una única representación canónica que coincide con la plantilla de la forma canónica.
Para los números racionales, la forma canónica es a / b, donde a y b no tienen factores comunes y b es positivo. Esta fracción se describe típicamente como «en términos mínimos». Cuando se pone en forma canónica, 2/6 se convierte en 1/3. Si dos fracciones tienen el mismo valor, sus representaciones canónicas son idénticas.
Las formas canónicas no siempre son la forma más común de denotar un objeto matemático. Las ecuaciones lineales bidimensionales tienen la forma canónica Ax + By + C = 0, donde C es 1 o 0. Sin embargo, los matemáticos a menudo emplean la forma pendiente-intersección – y = mx + b – cuando hacen cálculos básicos. La forma pendiente-intersección no es canónica; no se puede usar para describir la línea x = 4.
Los matemáticos encuentran las formas canónicas particularmente útiles al analizar sistemas abstractos, en los que dos objetos pueden parecer marcadamente diferentes pero son matemáticamente equivalentes. El conjunto de todos los caminos cerrados en una rosquilla tiene la misma estructura matemática que el conjunto de todos los pares ordenados (a, b) de números enteros. Un matemático puede ver esta conexión fácilmente si usa formas canónicas para describir ambos conjuntos. Los dos conjuntos tienen la misma representación canónica, por lo que son equivalentes. Para responder a una pregunta topológica sobre curvas en una rosquilla, un matemático podría encontrar más fácil responder una pregunta algebraica equivalente sobre pares ordenados de números enteros.
Muchos campos de estudio emplean matrices para describir sistemas. Una matriz se define por sus entradas individuales, pero esas entradas con frecuencia no transmiten el carácter de la matriz. Las formas canónicas ayudan a los matemáticos a saber cuándo dos matrices están relacionadas de alguna manera que de otra manera no sería obvia.
Las álgebras booleanas, la estructura que usan los lógicos al describir proposiciones, tienen dos formas canónicas: forma normal disyuntiva y forma normal conjuntiva. Estos son algebraicamente equivalentes a la factorización o expansión de polinomios respectivamente. Un breve ejemplo ilustra esta conexión.
El director de una escuela secundaria podría decir: «El equipo de fútbol debe ganar uno de sus dos primeros juegos y vencer a nuestros rivales, los Hornets, en su tercer juego, o de lo contrario el entrenador será despedido». Esta afirmación se puede escribir lógicamente como (w1 + w2) * H + F, donde «+» es la operación lógica «o» y «*» es la operación lógica «y». La forma normal disyuntiva para esta expresión es w1 * H + w2 * H + F. Su forma normal conjuntiva para es (w1 + w2 + F) * (H + F). Las tres expresiones son verdaderas exactamente en las mismas condiciones, por lo que son lógicamente equivalentes.
Los ingenieros y físicos también hacen uso de formas canónicas al considerar los sistemas físicos. A veces, un sistema será matemáticamente similar a otro aunque no se parezcan en nada. Las ecuaciones de matriz diferencial que se usan para modelar una pueden ser idénticas a las que se usan para modelar la otra. Estas similitudes se hacen evidentes cuando los sistemas se emiten en una forma canónica, como una forma canónica observable o una forma canónica controlable.