Las derivadas complejas son descripciones de las tasas de cambio de funciones complejas, que operan en campos de valor que incluyen números imaginarios. Les cuentan a los matemáticos sobre el comportamiento de funciones que son difíciles de visualizar. La derivada de una función compleja f en x0, si existe, está dada por el límite cuando x se acerca a x0 de (f (x) – f (x0)) / (x- x0).
Las funciones asocian valores en un campo con valores en otro campo, que es una acción llamada mapeo. Cuando uno o ambos campos contienen números que forman parte del campo de números complejos, la función se denomina función compleja. Las derivadas complejas provienen de funciones complejas, pero no todas las funciones complejas tienen una derivada compleja.
Los conjuntos de valores desde y hacia los que se asigna una función compleja deben incluir números complejos. Estos son valores que pueden ser representados por a + bi, donde a y b son números reales e i es la raíz cuadrada de uno negativo, que es un número imaginario. El valor de b puede ser cero, por lo que todos los números reales también son números complejos.
Las derivadas son tasas de cambio de funciones. Generalmente, la derivada es una medida de las unidades de cambio sobre un eje para cada unidad de otro eje. Por ejemplo, una línea horizontal en una gráfica bidimensional tendría una derivada de cero, porque para cada unidad de x, el valor de y cambia en cero. Las derivadas instantáneas, que se utilizan con más frecuencia, dan la tasa de cambio en un punto de la curva en lugar de en un rango. Esta derivada es la pendiente de la línea recta que es tangente a la curva en el punto deseado.
Sin embargo, la derivada no existe en todas partes en todas las funciones. Si una función tiene una esquina, por ejemplo, la derivada no existe en la esquina. Esto se debe a que la derivada está definida por un límite, y si la derivada da un salto de un valor a otro, entonces el límite es inexistente. Se dice que una función que tiene derivadas es diferenciable. Una condición para la diferenciabilidad en funciones complejas es que las derivadas parciales, o las derivadas para cada eje, deben existir y ser continuas en el punto en cuestión.
Las funciones complejas que tienen derivadas complejas también deben satisfacer las condiciones llamadas funciones de Cauchy-Riemann. Estos requieren que las derivadas complejas sean las mismas independientemente de cómo esté orientada la función. Si se cumplen las condiciones especificadas por las funciones y las derivadas parciales son continuas, entonces la función es derivable compleja.