Les coordonnées polaires sont une forme d’expression de la position sur un plan à deux dimensions. Les coordonnées cartésiennes, également appelées coordonnées rectangulaires, utilisent une distance dans chacune des deux dimensions pour localiser un point, mais les coordonnées polaires utilisent un angle et une distance. La distance est parfois appelée rayon.
Les coordonnées rectangulaires sont généralement notées (x, y), où x et y sont des distances le long de ces axes respectifs. De la même manière, les coordonnées polaires sont exprimées par (r,θ). La lettre r est la distance de l’origine à l’angle représenté par la lettre grecque theta, , où r peut être un nombre positif ou négatif. Si une distance négative est utilisée, l’amplitude de la distance ne change pas, mais la direction est prise en face de l’angle de l’autre côté de l’origine. Un point dans un système de coordonnées polaires peut être considéré comme représentant un vecteur, avec une magnitude de r, une direction de et un sens de direction, qui est le signe de r.
La traduction entre les coordonnées rectangulaires et polaires peut être accomplie grâce à l’utilisation de formules trigonométriques. Pour la conversion de rectangulaire en polaire, les formules suivantes peuvent être appliquées : θ = tan-1(y/x) et r = √(x2 + y2). Pour les changements de polaire à rectangulaire, ces équations peuvent être utilisées : x = rcosθ et y = rsinθ.
Les coordonnées polaires ont tendance à être utilisées pour toute situation dans laquelle les coordonnées rectangulaires s’avéreraient difficiles ou difficiles à utiliser, et vice versa. Toute application impliquant une géométrie circulaire ou un mouvement radial est idéalement adaptée aux coordonnées polaires, car ces géométries peuvent être décrites avec des équations relativement simples dans un système de coordonnées polaires ; leurs graphiques sont plus curvilignes ou circulaires en apparence par rapport à ceux des systèmes de coordonnées rectangulaires. En conséquence, les coordonnées polaires sont utilisées pour représenter des modèles de phénomènes du monde réel qui ont des formes arrondies de la même manière.
Les applications des coordonnées polaires sont assez variées. Des graphiques de coordonnées polaires ont été utilisés pour modéliser les champs sonores produits par différents emplacements de haut-parleurs ou les zones où différents types de microphones peuvent le mieux capter le son. Les coordonnées polaires sont d’une grande importance pour modéliser les mouvements orbitaux en astronomie et dans les voyages spatiaux. Ils sont également la base graphique de la célèbre formule d’Euler, qui est régulièrement appliquée en mathématiques pour la représentation et la manipulation de nombres complexes.
Comme leurs homologues rectangulaires, les coordonnées polaires n’ont pas besoin d’être limitées à seulement deux dimensions. Pour exprimer des valeurs en trois dimensions, un deuxième angle représenté par la lettre grecque phi, , peut être ajouté au système de coordonnées. Tout point peut ainsi être localisé à partir de l’origine par une distance fixe et deux angles, et on peut lui attribuer les coordonnées (r,θ,φ). Lorsque ce type de nomenclature est utilisé pour suivre et localiser des points dans un espace tridimensionnel, le système de coordonnées est désigné comme un système de coordonnées sphériques. Ce type de géométrie est parfois appelé utilisation de coordonnées sphériques polaires.
Les coordonnées sphériques ont en fait une application bien connue : elles sont utilisées pour cartographier la Terre. L’angle est typiquement la latitude et est limité entre moins-90 degrés et 90 degrés, tandis que l’angle est la longitude et est maintenu entre moins-180 et 180 degrés. Dans cette application, r peut parfois être ignoré, mais il est plus souvent utilisé pour l’expression de l’élévation au-dessus du niveau moyen de la mer.