De nombreuses équations peuvent être simplifiées en développant des logarithmes. Le terme logarithmes en expansion ne fait pas référence à des logarithmes qui se développent mais plutôt à un processus par lequel une expression mathématique est remplacée par une autre selon des règles spécifiques. Il existe trois de ces règles. Chacun d’eux correspond à une propriété particulière des exposants car prendre un logarithme est l’inverse fonctionnel de l’exponentiation : log3(9) = 2 car 32= 9.
La règle la plus courante pour développer les logarithmes est utilisée pour séparer les produits. Le logarithme d’un produit est la somme des logarithmes respectifs : loga(x*y) = loga(x) + loga(y). Cette équation est dérivée de la formule ax * ay = ax+y. Il peut être étendu à plusieurs facteurs : loga(x*y*z*w) = loga(x) + loga(y) + loga(z) + loga(w).
Élever un nombre à une puissance négative équivaut à élever sa réciproque à une puissance positive : 5-2 = (1/5)2 = 1/25. La propriété équivalente pour les logarithmes est que loga(1/x) = -loga(x). Lorsque cette propriété est combinée avec la règle du produit, elle fournit une loi pour prendre le logarithme d’un rapport : loga(x/y) = loga(x) – loga(y).
La dernière règle pour développer les logarithmes concerne le logarithme d’un nombre élevé à une puissance. En utilisant la règle du produit, on trouve que loga(x2) = loga(x) + loga(x) = 2*loga(x). De même, loga(x3) = loga(x) + loga(x) + loga(x) = 3*loga(x). En général, loga(xn) = n*loga(x), même si n n’est pas un nombre entier.
Ces règles peuvent être combinées pour développer des expressions de journal de caractère plus complexe. Par exemple, on peut appliquer la deuxième règle à loga(x2y/z), en obtenant l’expression loga(x2y) – loga(z). Ensuite, la première règle peut être appliquée au premier terme, ce qui donne loga(x2) + loga(y) – loga(z). Enfin, l’application de la troisième règle conduit à l’expression 2*loga(x) + loga(y) – loga(z).
L’expansion des logarithmes permet de résoudre rapidement de nombreuses équations. Par exemple, quelqu’un pourrait ouvrir un compte d’épargne avec 400 $ US. Si le compte paie 2 % d’intérêt annuel composé mensuellement, le nombre de mois requis avant que le compte ne double de valeur peut être trouvé avec l’équation 400*(1 + 0.02/12)m = 800. Diviser par 400 donne (1 + 0.02/ 12)m = 2. Prendre le logarithme en base 10 des deux côtés génère l’équation log10(1 + 0.02/12)m = log10(2).
Cette équation peut être simplifiée en utilisant la règle de puissance à m*log10(1 + 0.02/12) = log10(2). L’utilisation d’une calculatrice pour trouver les logarithmes donne m*(0.00072322) = 0.30102. On constate en résolvant pour m qu’il faudra 417 mois pour que le compte double de valeur si aucun argent supplémentaire n’est déposé.