Les nombres premiers sont un ensemble inhabituel de nombres infinis, tous entiers (et non fractionnaires ou décimaux), et tous supérieurs à un. Lorsque les théories sur les nombres premiers ont été adoptées pour la première fois, le nombre un était considéré comme premier. Cependant, au sens moderne, on ne peut jamais être premier car il n’a qu’un seul diviseur ou facteur, le nombre un. Dans la définition d’aujourd’hui, un nombre premier a exactement deux diviseurs, le nombre un et le nombre lui-même.
Les anciens Grecs ont créé des théories et développé les premiers ensembles de nombres premiers, bien qu’il puisse y avoir aussi des études égyptiennes sur cette question. Ce qui est intéressant, c’est que le sujet des nombres premiers n’a pas été beaucoup abordé ou étudié après les Grecs anciens jusqu’à bien après la période médiévale. Puis, au milieu du XVIIe siècle, les mathématiciens ont commencé à étudier les nombres premiers avec une plus grande concentration, et cette étude se poursuit aujourd’hui, avec de nombreuses méthodes développées pour trouver de nouveaux nombres premiers.
En plus de trouver des nombres premiers, les mathématiciens savent qu’il existe un nombre infini, bien qu’ils ne les aient pas tous découverts, et l’infini suggère qu’ils ne le peuvent pas. Découvrir le nombre premier le plus élevé serait impossible. Le mieux qu’un mathématicien puisse viser est de trouver le plus grand nombre premier connu. L’infini signifie qu’il y en aurait un autre, et encore un autre dans une séquence sans fin au-delà de ce qui a été découvert.
La preuve de l’infinité des nombres premiers remonte à l’étude d’Euclide sur eux. Il a développé une formule simple selon laquelle deux nombres premiers multipliés ensemble plus le nombre un révéleraient parfois ou fréquemment un nouveau nombre premier. Le travail d’Euclide n’a pas toujours révélé de nouveaux nombres premiers, même avec de petits nombres. Voici des exemples fonctionnels et non fonctionnels de la formule d’Euclide :
2 X 3 = 6 +1 = 7 (un nouveau nombre premier)
5 X 7 = 35 +1= 36 (un nombre avec de nombreux facteurs)
D’autres méthodes pour faire évoluer les nombres premiers dans les temps anciens incluent l’utilisation du tamis d’Ératosthène, qui a été développé vers le troisième siècle avant notre ère. Dans cette méthode, les nombres sont répertoriés sur une grille, et la grille peut être assez grande. Chaque nombre considéré comme un multiple de n’importe quel nombre est barré jusqu’à ce qu’une personne atteigne les racines carrées du nombre le plus élevé sur la grille. Ces tamis peuvent être volumineux et leur utilisation est compliquée par rapport à la façon dont les nombres premiers peuvent être manipulés et trouvés aujourd’hui. Aujourd’hui, en raison des grands nombres avec lesquels la plupart des gens travaillent, les ordinateurs sont généralement utilisés pour trouver de nouveaux nombres premiers et sont beaucoup plus rapides au travail que les gens ne peuvent l’être.
Il faut encore un effort humain pour soumettre un nombre premier possible à de nombreux tests afin de s’assurer qu’il est premier, surtout lorsqu’il est extrêmement grand. Il y a même des prix pour trouver de nouveaux nombres qui peuvent être lucratifs pour les mathématiciens. Actuellement, les plus grands nombres premiers connus ont plus de 10 millions de chiffres, mais étant donné l’infinité de ces nombres spéciaux, il est clair que quelqu’un dépassera probablement ce seuil plus tard.