La conjecture de Poincaré est l’une des conjectures les plus importantes des mathématiques modernes et a actuellement été démontrée de manière adéquate au point qu’elle est considérée comme un théorème complet. C’est l’un des sept problèmes du prix du millénaire, énoncés par le Clay Mathematics Institute en 2000. À ce jour, c’est le seul des problèmes du prix du millénaire à avoir été résolu, et sa solution a été considérée comme l’une des découvertes les plus importantes du nouveau millénaire.
Au début du XXe siècle, un mathématicien français, Henri Poincaré, a commencé à définir ce qui allait servir de base au domaine mathématique de la topologie. L’un de ses principaux objectifs était les propriétés des sphères, et il a consacré beaucoup d’attention et d’énergie à la description de la sphère. Il a posé un certain nombre de questions, mais la plus célèbre a été formulée comme suit : Considérez une variété compacte à 20 dimensions V sans frontière. Est-il possible que le groupe fondamental de V soit trivial, même si V n’est pas homéomorphe à la sphère tridimensionnelle ? Bien qu’il n’ait jamais fait de déclaration concrète d’une manière ou d’une autre, cela allait être connu sous le nom de Conjecture de Poincaré.
La forme la plus courante de la conjecture de Poincaré est simplement : chaque 3-variété fermée et simplement connectée est homéomorphe à la 3-sphère. La conjecture de Poincaré a également été généralisée aux dimensions supérieures à trois, de la forme n-sphère. Bien qu’à l’origine, on pensait que la conjecture de Poincaré elle-même serait vraie, on pensait que la conjecture de Poincaré généralisée se révélerait fausse. Ce fut donc une surprise lorsque la conjecture de Poincaré généralisée a été prouvée pour des dimensions supérieures à quatre en 1961, puis en 1982 lorsque le cas des 4 sphères s’est avéré vrai.
En 1982, Richard Hamilton montra que la conjecture de Poincaré était vraie dans un certain nombre de cas spécialisés, mais fut incapable de la prouver de manière plus générale. En 2000, le Clay Mathematics Institute a inclus la conjecture de Poincaré dans ses problèmes du prix du millénaire, offrant un prix de 1,000,000 2002 2003 $ US (USD) pour une solution qui s’est avérée satisfaisante. En XNUMX et XNUMX, le mathématicien Grigori Perelman a publié deux articles qui présentaient un croquis pour une preuve de la conjecture de Poincaré.
En 2006, un certain nombre de groupes de travail ont comblé de petites lacunes accidentelles dans le travail de Perelman, et John Morgan et Gang Tian l’ont rédigé comme une preuve détaillée. Ils ont finalement développé cela dans un livre sur la conjecture de Poincaré, et en 2006, Morgan a déclaré que Perelman avait résolu le problème en 2003. Pour son travail, Perelman a reçu la médaille Fields, mais il l’a refusée. Bien qu’il ait également résolu techniquement le prix du millénaire et qu’il soit donc éligible pour recevoir le million de dollars US, il n’a pas entrepris les démarches nécessaires pour réclamer le prix.
La résolution de la conjecture de Poincaré a été considérée comme une grande percée en mathématiques et l’une des preuves les plus importantes du nouveau millénaire. Fin 2006, le magazine Science a nommé la solution à la conjecture de Poincaré la percée scientifique de l’année. C’était la première fois que cet honneur était décerné à une percée en mathématiques pures.