La théorie transformationnelle de la musique est une tentative mathématique d’expliquer sa nature, sa structure et ses effets sur l’expérience humaine. Les étudiants en théorie musicale, même les anciens Grecs, savent que la musique peut s’expliquer par la science et les mathématiques, ainsi que par le plaisir esthétique. L’avènement de l’électronique sophistiquée et des ordinateurs puissants de la fin du 20e siècle a finalement permis des tentatives de modélisation numérique de la musique. La théorie transformationnelle a été proposée pour la première fois par un mathématicien et musicien de l’Université Harvard aux États-Unis. Le livre de 1987 du professeur David Lewin s’intitulait Intervalles et transformations musicaux généralisés.
La gamme diatonique utilisée dans la musique tonale – juste les touches blanches d’un piano, par exemple – est un très petit ensemble de sept éléments avec un point de départ {C,D,E,F,G,A, & B}. C’est sa désignation conventionnelle. Il n’y a aucune raison de ne pas les désigner numériquement {1,2,3,4,5,6,7}. La gamme chromatique complète de la musique atonale sans point de départ – l’inclusion des touches noires d’un piano – est toujours un petit ensemble de seulement douze éléments. Presque toute la musique du monde est contenue dans ce petit ensemble.
La théorie musicale des ensembles emprunte aux mathématiques des ensembles et des séquences à cette limitation de douze éléments. Leurs séquences infiniment variables expliquent le catalogue presque infini de chansons du monde. Un pianiste chargé de jouer successivement trois notes ascendantes – do-re-mi, par exemple, en utilisant la convention latine – serait représenté par la séquence {C,D,E}. La théorie transformationnelle se passe complètement de l’ensemble, arguant que les éléments musicaux individuels n’ont pas besoin d’être spécifiés si les règles et les relations des sons changeants peuvent être définies.
Dans l’exemple en trois notes du paragraphe ci-dessus, la séquence peut être représentée {n, n+1, n+2}. Les nombres représentent l’intervalle musical, ou espace de hauteur, déjà bien défini non seulement par l’espacement des touches d’un piano, mais aussi par la science des ondes sonores. Un chanteur qui demande de la musique d’accompagnement dans une tonalité différente pour mieux s’adapter à sa tessiture représente la variable n dans la séquence. La théorie transformationnelle décrirait que l’élément n subit une transformation séquentielle équivalente aux trois notes ascendantes.
Encore plus réduite à son essence, la théorie transformationnelle définit une composition musicale comme un espace sonore, appelé S, qui ne contient qu’un seul élément n. Toutes les nombreuses notes musicales de la composition peuvent être mappées sur cet espace en fonction de leur opération de transformation T par rapport à n. Par exemple, la technique dramatique du piano consistant à frapper toutes les touches blanches de gauche à droite en un seul coup rapide pourrait être représentée spatialement comme une hélice en spirale sous la forme d’un ressort métallique. La musique est exprimée comme un réseau, plutôt que comme une collection de symboles.
David Lewin est décédé en 2003 sans publier une grande partie de ses articles théoriques. Des mathématiciens avancés, des programmeurs informatiques et des théoriciens de la musique ont depuis perfectionné et affiné son cadre d’origine. Un groupe de chercheurs a alimenté l’intégralité de plusieurs symphonies orchestrales du XVIIIe siècle, dont celle du compositeur Ludwig Beethoven, à un ordinateur programmé avec les mathématiques de la théorie transformationnelle. Chaque morceau de musique a donné lieu à un graphique de la forme géométrique appelée tore, plus communément appelée beignet avec un trou.