Les matrices sont des objets mathématiques qui transforment des formes. Le déterminant d’une matrice carrée A, noté |A|, est un nombre qui résume l’effet A sur la taille et l’orientation d’une figure. Si [ab] est le vecteur de ligne du haut pour A et [cd] est son vecteur de ligne du bas, alors |A| = ad-bc.
Un déterminant code des informations utiles sur la façon dont une matrice transforme les régions. La valeur absolue du déterminant indique le facteur d’échelle de la matrice, de combien il étend ou rétrécit une figure. Son signe indique si la matrice retourne les chiffres, produisant une image miroir. Les matrices peuvent également incliner les régions et les faire pivoter, mais cette information n’est pas fournie par le déterminant.
Arithmétiquement, l’action de transformation d’une matrice est déterminée par la multiplication matricielle. Si A est une matrice 2 × 2 avec la ligne du haut [ab] et la ligne du bas [cd], alors [1 0] * A = [ab] et [0 1] * A = [cd]. Cela signifie que A amène le point (1,0) au point (a,b) et le point (0,1) au point (c,d). Toutes les matrices laissent l’origine inchangée, donc on voit que A transforme le triangle avec les extrémités à (0,0), (0,1) et (1,0) en un autre triangle avec les extrémités à (0,0), (a ,b) et (c,d). Le rapport entre l’aire de ce nouveau triangle et celle du triangle d’origine est égal à |ad-bc|, la valeur absolue de |A|.
Le signe du déterminant d’une matrice décrit si la matrice retourne une forme. Considérant le triangle avec les extrémités à (0,0), (0,1) et (1,0), si une matrice A maintient le point (0,1) stationnaire tout en amenant le point (1,0) au point (-1,0), alors il a renversé le triangle sur la ligne x = 0. Puisque A a renversé la figure, |A| sera négatif. La matrice ne change pas la taille d’une région, donc |A| doit être -1 pour être cohérent avec la règle selon laquelle la valeur absolue de |A| décrit de combien A étire une figure.
L’arithmétique matricielle suit la loi associative, c’est-à-dire que (v*A)*B = v*(A*B). Géométriquement, cela signifie que l’action combinée de transformer d’abord une forme avec la matrice A puis de transformer la forme avec la matrice B équivaut à transformer la forme d’origine avec le produit (A*B). On peut déduire de cette observation que |A|*|B| = |A*B|.
L’équation |A| * |B| = |A*B| a une conséquence importante lorsque |A| = 0. Dans ce cas, l’action de A ne peut pas être annulée par une autre matrice B. Cela peut être déduit en notant que si A et B étaient inverses, alors (A*B) n’étire ni ne retourne aucune région, donc |A* B| = 1. Puisque |A| * |B| = |A*B|, cette dernière observation conduit à l’équation impossible 0 * |B| = 1.
L’affirmation inverse peut également être montrée : si A est une matrice carrée avec un déterminant non nul, alors A a un inverse. Géométriquement, c’est l’action de toute matrice qui n’aplatit pas une région. Par exemple, l’écrasement d’un carré dans un segment de ligne peut être annulé par une autre matrice, appelée son inverse. Un tel inverse est l’analogue matriciel d’une réciproque.