Un espace de phase est une abstraction que les physiciens utilisent pour visualiser et étudier des systèmes ; chaque point de cet espace virtuel représente un seul état possible du système ou l’une de ses parties. Ces états sont généralement déterminés par l’ensemble des variables dynamiques pertinentes pour l’évolution du système. Les physiciens trouvent l’espace des phases particulièrement utile pour analyser des systèmes mécaniques, tels que des pendules, des planètes en orbite autour d’une étoile centrale ou des masses reliées par des ressorts. Dans ces contextes, l’état d’un objet est déterminé par sa position et sa vitesse ou, de manière équivalente, sa position et sa quantité de mouvement. L’espace des phases peut également être utilisé pour étudier des systèmes non classiques – et même non déterministes -, tels que ceux rencontrés en mécanique quantique.
Une masse se déplaçant de haut en bas sur un ressort fournit un exemple concret de système mécanique apte à illustrer l’espace des phases. Le mouvement de la masse est déterminé par quatre facteurs : la longueur du ressort, la rigidité du ressort, le poids de la masse et la vitesse de la masse. Seuls le premier et le dernier d’entre eux changent avec le temps, en supposant que les changements infimes de la force de gravité sont ignorés. Ainsi, l’état du système à un instant donné est uniquement déterminé par la longueur du ressort et la vitesse de la masse.
Si quelqu’un tire la masse vers le bas, le ressort peut s’étirer sur une longueur de 10 pouces (25.4 cm). Lorsque la masse est lâchée, elle est momentanément au repos, donc sa vitesse est de 0 in/s. L’état du système à ce moment peut être décrit comme (10 in, 0 in/s) ou (25.4 cm, 0 cm/s).
La masse accélère d’abord vers le haut, puis ralentit au fur et à mesure que le ressort se comprime. La masse peut cesser de monter lorsque le ressort mesure 6 cm (15.2 pouces) de long. À ce moment, la masse est à nouveau au repos, de sorte que l’état du système peut être décrit comme (6 pouces, 0 pouces/s) ou (15.2 cm, 0 cm/s).
Aux extrémités, la masse a une vitesse nulle, il n’est donc pas surprenant qu’elle se déplace le plus rapidement à mi-chemin entre eux, où la longueur du ressort est de 8 pouces (20.3 cm). On pourrait supposer que la vitesse de la masse à ce point est de 4 in/s (10.2 cm/s). Lors du passage du point médian sur son chemin vers le haut, l’état du système peut être décrit comme (8 pouces, 4 pouces/s) ou (20.3 cm, 10.2 cm/s). En descendant, la masse se déplacera vers le bas, donc l’état du système à ce point est (8 pouces, -4 pouces/s) ou (20.3 cm, -10.2 cm/s).
La représentation graphique de ces états et d’autres que le système expérimente produit une ellipse décrivant l’évolution du système. Un tel graphique est appelé un tracé de phase. La trajectoire spécifique par laquelle passe un système particulier est son orbite.
Si la masse avait été abaissée davantage au début, la figure tracée dans l’espace des phases serait une ellipse plus grande. Si la masse avait été libérée au point d’équilibre – le point où la force du ressort annule exactement la force de gravité – la masse resterait en place. Ce serait un seul point dans l’espace des phases. Ainsi, on peut voir que les orbites de ce système sont des ellipses concentriques.
L’exemple de la masse sur un ressort illustre un aspect important des systèmes mécaniques définis par un seul objet : il est impossible que deux orbites se croisent. Les variables représentant l’état de l’objet déterminent son avenir, il ne peut donc y avoir qu’un seul chemin vers et un seul chemin hors de chaque point de son orbite. Par conséquent, les orbites ne peuvent pas se croiser. Cette propriété est extrêmement utile pour analyser des systèmes utilisant l’espace des phases.