Une distribution binomiale avec des paramètres (n,p) donne la probabilité discrète d’avoir x succès sur n essais, avec une probabilité de succès p, en supposant que chaque essai est indépendant et que le résultat d’un essai est soit un succès, soit un échec. Le nombre moyen de succès sur n essais est le np moyen et la variance est np(1-p). Le binôme appartient à une famille de distributions liées aux événements comprenant le binôme négatif et la distribution de Bernoulli. Étant donné que la probabilité de distribution binomiale est calculée à l’aide de la fonction factorielle, qui devient très grande à mesure que le nombre d’essais augmente, une approximation de la distribution binomiale d’une distribution normale ou de Poisson est généralement utilisée.
Par exemple, une pièce équitable est lancée deux fois et un succès est défini comme étant face. Le nombre d’essais est n = 2 et la probabilité de lancer une tête est p = ½. Les résultats peuvent être résumés dans un tableau de distribution binomiale : la probabilité de n’avoir aucune face, P(x = 0) est de 25 %, la probabilité d’une face, P(x = 1) est de 50 %, et la probabilité de deux faces P(x = 2) est de 25 %. Le nombre attendu de têtes lancées est np = 2*1/2 = 1. La variance est np(1-p) = ½.
D’autres distributions décrivent la probabilité d’événements et appartiennent à la même famille que le binôme. Une distribution de Bernoulli donne la probabilité de succès d’un seul événement et équivaut à un binôme avec n = 1. La distribution binomiale négative donne la probabilité d’avoir x échecs, tandis que le binôme régulier donne la probabilité de x succès.
Souvent, la fonction de densité cumulée de la distribution binomiale est utilisée, ce qui donne la probabilité d’avoir x succès ou moins dans n essais. Le calcul de cette probabilité est simple pour un petit n, mais devient fastidieux à mesure que n grandit, à cause du coefficient binomial. Le coefficient binomial se lit n choisissez x et fait référence au nombre de combinaisons que x résultats peuvent être choisis parmi n possibilités. Il est calculé à l’aide de la fonction factorielle. À mesure que le nombre d’essais (n) dépasse 70, la factorielle n devient énorme et ne peut plus être calculée sur une calculatrice standard.
L’approximation de la distribution binomiale lorsque n devient grand peut être discrète ou continue. Si n est très grand et p est très petit, alors la distribution binomiale devient une distribution de Poisson discrète. Si n est suffisamment grand sans aucune contrainte sur p, alors l’approximation de la distribution normale binomiale peut être utilisée. La moyenne binomiale et l’écart type deviennent les paramètres de la distribution normale et une correction de continuité est appliquée lors du calcul de la fonction de densité cumulée.