Une spline est un type de fonction polynomiale par morceaux. En mathématiques, les splines sont souvent utilisées dans un type d’interpolation appelé interpolation spline. Les courbes splines sont également utilisées en infographie et en conception assistée par ordinateur (CAO) pour approximer des formes complexes.
L’interpolation est utilisée lorsqu’il existe un ensemble de points de données discrets et qu’il est nécessaire d’estimer d’autres points du même type de données à partir des points donnés. L’interpolation polynomiale est couramment utilisée pour un petit nombre de points de données ; il s’agit d’une méthode qui ajuste une fonction polynomiale d’ordre n à n + 1 points de données. Cependant, lorsque le nombre de points augmente, les interpolations polynomiales ne correspondent souvent pas bien aux données. Dans ces cas, l’interpolation spline est souvent utilisée à la place.
Alors que l’interpolation polynomiale ajuste une courbe à travers tous les points de données à la fois, l’interpolation spline rapproche une courbe entre chaque paire proche de points de données et ajoute toutes les courbes ensemble pour créer l’approximation finale. C’est pourquoi les splines sont des fonctions par morceaux plutôt que des courbes lisses. Les techniques d’interpolation de spline couramment utilisées comprennent l’interpolation linéaire, quadratique et cubique.
L’interpolation spline linéaire ajuste simplement des lignes droites passant par chaque paire consécutive de points de données. Chaque section de ligne peut avoir une pente similaire ou très différente de l’autre section, selon la distribution des données. Pour trouver la valeur y sur un système de coordonnées cartésiennes pour une valeur x donnée entre deux points de données, la pente entre les points donnés est multipliée par la distance entre la valeur x pour laquelle la valeur y est souhaitée et la valeur x pour le point à sa gauche. Ce nombre est ensuite ajouté à la valeur y à gauche de l’emplacement souhaité pour obtenir l’approximation de la valeur y entre les deux points.
L’interpolation de spline quadratique rapproche les données entre des points consécutifs par un polynôme quadratique. Pour trouver les coefficients de ces équations quadratiques, un certain nombre de méthodes de résolution d’équations simultanées peuvent être appliquées. Les techniques d’algèbre linéaire ou la résolution à l’aide de logiciels sont parmi les techniques les plus couramment utilisées. Une valeur y interpolée sur une spline quadratique est trouvée en utilisant l’équation quadratique générale, y = a*x2 + b*x + c, avec les coefficients a, b et c déterminés précédemment.
L’interpolation spline cubique utilise une fonction polynomiale cubique ou de troisième ordre pour approximer les données entre des points consécutifs. Ce type de spline est généralement calculé à l’aide d’un logiciel informatique ou d’une calculatrice graphique. Un type spécial d’interpolation de spline cubique, appelée interpolation de spline bloquée ou complète, utilise des pentes données aux extrémités de la courbe pour aider à calculer la fonction.