La deviazione standard è un numero statistico calcolato per fornire i limiti specifici dei raggruppamenti di dati al di sotto e al di sopra della media di una popolazione ideale all’interno di una curva normale. In altre parole, una deviazione standard calcolata fornisce i limiti dei dati indicati da tre linee equidistanti su entrambi i lati della linea mediana di una curva a campana. La maggior parte delle procedure per calcolare la deviazione standard senza programmi statistici o calcolatori statistici sono indicate come procedure “a un passaggio” o “a due passaggi”, riferendosi al numero di volte in cui ogni numero deve essere annotato e manipolato come parte della soluzione complessiva. Nonostante debbano affrontare ogni numero una seconda volta, i metodi “a due passaggi” per calcolare la deviazione standard sono più facili da spiegare senza fare riferimento o comprendere la formula statistica effettivamente calcolata. I migliori consigli per calcolare la deviazione standard includono lavorare con piccole quantità di dati quando si apprende il processo per la prima volta, usando un problema di esempio che uno studente potrebbe incontrare nella vita reale, scrivendo tutta l’aritmetica e i calcoli per ricontrollare gli errori e capire come il tuo calcoli individuali portano alla tua risposta finale.
Per stabilire un problema di esempio ragionevole, considerare il calcolo della deviazione standard su un elenco di 10 voti di esame: 99, 78, 89, 71, 92, 88, 59, 68, 83 e 81.
Il calcolo viene effettuato utilizzando una formula nota come metodo di Welford:
s = √ (1/n-1)(∑(x – µ)2
Le variabili in questa equazione sono le seguenti:
s = deviazione standard
√ = radice quadrata dell’intero calcolo
n = il numero di dati, ad esempio 10 voti di prova
∑ = simbolo di sommatoria che indica che tutti i risultati calcolati a seguire devono essere sommati con semplici calcoli
x = ciascuno dei diversi dati, per l’esempio dei voti di prova: 99, 78, 89, ecc.
µ = la media, o media, di tutti i tuoi dati; per esempio tutti i 10 voti di prova sommati e divisi per 10
(x – µ)2 = elevazione al quadrato del risultato dell’equazione o moltiplicazione del risultato per se stesso
Ora, mentre risolvi determinate variabili, inseriscile nell’equazione.
Il primo passo è il più semplice. Il denominatore, n-1, della frazione 1/n-1 può essere facilmente risolto. Con n uguale a 10 voti di prova, il denominatore sarà chiaramente 10 – 1 o 9.
Il passaggio successivo consiste nell’ottenere la media, o media, di tutti i voti del test sommandoli e dividendo per il numero di voti. Il risultato dovrebbe essere µ = 80.8. Questa sarà la linea di mezzo, o media, che divide in due il grafico della curva standard in due metà bilaterali.
Quindi, sottrarre la media – µ = 80.8 – da ciascuno dei 10 gradi del test e elevare al quadrato ciascuna di queste deviazioni in un secondo passaggio attraverso i dati. Così,
99 – 80.8 = 18.2331.2478 – 80.8 = -2.87.8489 – 80.8 = 8.267.2471 – 80.8 = -9.896.0492 – 80.8 = 11.2125.4488 – 80.8 = 7.251.8459 – 80.8 = -21.8475.2468 – 80.8 = – 12.8163.8483 – 80.8 = 2.24.8481 – 80.8 = 0.20.04
Aggiungi tutti questi calcoli per raggiungere la somma dei dati rappresentata da . L’aritmetica di base ora indica che = 1,323.6
ora deve essere moltiplicato per 1/9 poiché il denominatore di questa frazione è stato stabilito nella prima fase del calcolo della deviazione standard. Ciò si traduce in un prodotto di 147.07.
Infine, il calcolo della deviazione standard richiede che la radice quadrata di questo prodotto sia 12.13.
Pertanto, per il nostro problema di esempio relativo all’esame con 10 voti del test che vanno da 59 a 99, il punteggio medio del test era 80.8. Il calcolo della deviazione standard per il nostro problema di esempio ha prodotto un valore di 12.13. In base alla distribuzione prevista di una curva normale, potremmo stimare che il 68% dei voti si troverebbe entro una deviazione standard della media (da 68.67 a 92.93), il 95% dei voti sarebbe entro due deviazioni standard della media (56.54 a 105.06) e il 99.5% dei voti sarebbe entro tre deviazioni standard dalla media.