Una relazione lineare si verifica quando un cambiamento in una o più variabili indipendenti che hanno una potenza di uno o zero influenza una variabile dipendente. Le relazioni lineari sono rappresentate sui grafici come linee rette. In statistica, la regressione lineare viene utilizzata per adattare un’equazione lineare attraverso un insieme di punti dati che sono correlati linearmente. Un esempio tratto dalla teoria finanziaria è la linea caratteristica della sicurezza, che descrive la relazione lineare tra i rendimenti in eccesso di un’attività e quelli del mercato.
Le relazioni lineari sono tipicamente descritte da equazioni lineari scritte nella forma pendenza-intercetta y = mx + b. La variabile indipendente x è tracciata sull’asse orizzontale e la variabile dipendente y è tracciata sull’asse verticale. La costante m è la pendenza o pendenza della retta. La costante b è chiamata intercetta y ed è il valore di y quando la linea attraversa l’asse verticale.
Se un insieme di punti dati ha una relazione perfettamente lineare, il loro grafico formerà una linea retta. Ciò si verifica raramente con i dati del mondo reale, sebbene possa esistere una forte relazione lineare tra due variabili. Altre volte, i dati sono debolmente lineari, ma un’equazione lineare è comunque interessante poiché è facile da lavorare e modellare. In entrambi i casi si possono usare tecniche di regressione lineare, come il metodo dei minimi quadrati, per descrivere la relazione.
Lo studio della relazione lineare tra due variabili può essere utile per prevedere comportamenti futuri. Ad esempio, la regressione lineare potrebbe essere utilizzata sui dati relativi ai tassi salariali negli ultimi dieci anni, considerando i salari in funzione del tempo. I tassi salariali previsti per un determinato anno possono essere calcolati utilizzando l’equazione lineare e queste informazioni possono essere utilizzate per preventivare risparmi e pensioni.
Nel Capital Asset Pricing Model, la linea caratteristica del titolo è derivata dalla regressione lineare sui dati storici di un singolo asset e descrive la relazione lineare tra rischio sistematico e non sistematico. La variabile indipendente è il rendimento in eccesso del mercato e la variabile dipendente è il rendimento in eccesso dell’attività. L’intercetta y chiamata alfa misura il rendimento di un investimento dato il suo rischio. Se alfa è positivo l’investimento ha sovraperformato, se negativo ha sottoperformato e se zero i suoi rendimenti sono adeguati dati i rischi dell’investimento.
La pendenza della linea caratteristica è chiamata beta e descrive la sensibilità dell’asset ai cambiamenti del mercato. Un beta positivo significa che il prezzo dell’asset si muove con il mercato. Se il beta è compreso tra zero e uno, il prezzo dell’attività oscillerà tanto quanto il mercato e può ridurre la volatilità di un portafoglio. Se il beta è maggiore di uno, l’attività supererà il mercato se il mercato aumenta, ma sottoperforma il mercato se il mercato diminuisce, consentendo così guadagni o perdite maggiori.
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