Le théorème de Bayes, parfois appelé règle de Bayes ou principe de probabilité inverse, est un théorème mathématique qui découle très rapidement des axiomes de la théorie des probabilités. En pratique, il est utilisé pour calculer la probabilité mise à jour d’un phénomène cible ou d’une hypothèse H compte tenu de nouvelles données empiriques X et de certaines informations contextuelles, ou probabilité antérieure.
La probabilité préalable d’une hypothèse est généralement représentée par un pourcentage compris entre 0 % et 100 %, ou un nombre compris entre 0 et 1. Cette probabilité est souvent appelée degré de confiance et est censée varier d’un observateur à l’autre, car tous les observateurs ne ont eu la même expérience et ne peuvent donc pas faire d’estimations de probabilité équivalentes pour une hypothèse donnée. L’application du théorème de Bayes dans un contexte scientifique est appelée inférence bayésienne, qui est une formalisation quantitative de la méthode scientifique. Il permet la révision optimale des distributions de probabilité théoriques compte tenu des résultats expérimentaux.
Le théorème de Bayes dans le contexte de l’inférence scientifique dit ce qui suit : La nouvelle probabilité qu’une hypothèse H soit vraie (appelée probabilité postérieure) étant donné une nouvelle preuve X est égale à la probabilité que nous observions cette preuve X étant donné que H est réellement vrai (appelée probabilité conditionnelle, ou vraisemblance), multipliée par la probabilité a priori que H soit vraie, le tout divisé par la probabilité de X.
Une reformulation courante de ce qui précède en termes de la façon dont un résultat de test contribue à la probabilité qu’un patient donné ait un cancer peut être présentée comme suit :
p(positif|cancer)*p(cancer)
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p(positif|cancer)*p(cancer) + p(positif|~cancer)*p(~cancer)
La barre verticale signifie donné. La probabilité que le patient ait un cancer après un résultat positif à un certain test de cancer est équivalente à la probabilité d’un résultat positif pour un cancer donné (dérivée des résultats antérieurs) multipliée par la probabilité antérieure qu’une personne donnée ait un cancer (relativement faible), le tout divisé par cela même nombre, plus la probabilité d’un faux positif multipliée par la probabilité antérieure de ne pas avoir de cancer.
Cela semble compliqué, mais l’équation ci-dessus peut être utilisée pour déterminer la probabilité mise à jour de toute hypothèse compte tenu de tout résultat expérimental quantifiable.