La méthode de Monte Carlo est en fait une large classe de méthodes de recherche et d’analyse, la caractéristique unificatrice étant de s’appuyer sur des nombres aléatoires pour étudier un problème. La prémisse fondamentale est que même si certaines choses peuvent être entièrement aléatoires et inutiles sur de petits échantillons, sur de grands échantillons, elles deviennent prévisibles et peuvent être utilisées pour résoudre divers problèmes.
Un exemple simple de la méthode de Monte Carlo peut être vu dans une expérience classique, utilisant des lancers de fléchettes aléatoires pour déterminer une valeur approximative de pi. Prenons un cercle et coupons-le en quatre. Ensuite, nous prendrons un de ces quartiers et le placerons dans un carré. Si nous devions lancer des fléchettes au hasard sur cette place et exclure celles qui tombaient de la place, certaines atterriraient à l’intérieur du cercle et d’autres à l’extérieur. La proportion de fléchettes qui ont atterri dans le cercle par rapport aux fléchettes qui ont atterri à l’extérieur serait à peu près analogue à un quart de pi.
Bien sûr, si nous ne lancions que deux ou trois fléchettes, le caractère aléatoire des lancers rendrait le rapport auquel nous sommes arrivés également assez aléatoire. C’est l’un des points clés de la méthode de Monte Carlo : la taille de l’échantillon doit être suffisamment grande pour que les résultats reflètent les probabilités réelles et que les valeurs aberrantes ne l’affectent pas de manière drastique. Dans le cas du lancer aléatoire de fléchettes, nous constatons que quelque part dans les quelques milliers de lancers, la méthode de Monte Carlo commence à produire quelque chose de très proche de pi. Au fur et à mesure que nous atteignons les milliers, la valeur devient de plus en plus précise.
Bien sûr, lancer des milliers de fléchettes sur une place serait quelque peu difficile. Et s’assurer de les faire de manière entièrement aléatoire serait plus ou moins impossible, ce qui en ferait davantage une expérience de pensée. Mais avec un ordinateur, nous pouvons faire un lancer vraiment aléatoire et nous pouvons rapidement faire des milliers, voire des dizaines de milliers, voire des millions de lancers. C’est avec les ordinateurs que la méthode de Monte Carlo devient une méthode de calcul vraiment viable.
L’une des premières expériences de pensée comme celle-ci est connue sous le nom de problème de l’aiguille de Buffon, qui a été présentée pour la première fois à la fin du XVIIIe siècle. Celui-ci présente deux lames de bois parallèles, de même largeur, posées au sol. Il suppose ensuite que nous laissons tomber une aiguille sur le sol et demande quelle est la probabilité que l’aiguille atterrisse à un angle tel qu’elle croise une ligne entre deux des bandes. Cela peut être utilisé pour calculer pi à un degré impressionnant. En effet, un mathématicien italien, Mario Lazzarini, a fait cette expérience, lançant l’aiguille 18 fois, et est arrivé à 3408 (3.1415929/355), une réponse remarquablement proche de la valeur réelle de pi.
La méthode de Monte Carlo a des utilisations bien au-delà du simple calcul de pi, bien sûr. Il est utile dans de nombreuses situations où les résultats exacts ne peuvent pas être calculés, comme une sorte de réponse abrégée. Il a été surtout utilisé à Los Alamos lors des premiers projets nucléaires des années 1940, et ce sont ces scientifiques qui ont inventé le terme méthode de Monte Carlo, pour décrire son caractère aléatoire, car il était similaire aux nombreux jeux de hasard joués à Monte Carlo.
Diverses formes de la méthode de Monte Carlo peuvent être trouvées dans la conception informatique, la chimie physique, la physique nucléaire et des particules, les sciences holographiques, l’économie et de nombreuses autres disciplines. Tout domaine où la puissance nécessaire pour calculer des résultats précis, comme le mouvement de millions d’atomes, peut potentiellement être grandement facilité par l’utilisation de la méthode de Monte Carlo.