Als anspruchsvolles Feld der Philosophie, das die Beziehung zwischen Mathematik und Realität untersucht, befasst sich die Mathematikphilosophie auch mit den zugrunde liegenden Annahmen und Implikationen der Mathematik. Der Begriff „Philosophie der Mathematik“, der manchmal als mathematische Philosophie bezeichnet wird, ist genauer, da der vorherige Begriff andere Bedeutungen hat, z. B. die Philosophie, die ein bestimmter Mathematiker bei seinen Berechnungen verwendet. Dies ist nicht dasselbe wie die Untersuchung der zugrunde liegenden philosophischen Grundlagen der Mathematik.
Philosophie der Mathematik und verwandter Gebiete gibt es schon seit Tausenden von Jahren, zumindest seit der griechischen Antike. Die Anhänger des Pythagoras – die Pythagoräer – dachten tief über die Mathematik nach und bildeten sogar eine Art Kult darum. Diese alten Griechen dachten, dass Mathematik ein schönes, in sich schlüssiges System zur Betrachtung der Welt sei und in seiner Vorhersagekraft praktisch magisch sei. Diese Ansicht wurde durch die Entdeckung der Irrationalität leicht gestört – das heißt Zahlen, die sich endlos erstrecken, ohne jemals zu enden, wie Pi und die Quadratwurzel von zwei.
Die alten Griechen hatten noch andere eigentümliche Eigenschaften in ihrer mathematischen Philosophie. Zum Beispiel bezweifelten sie die Existenz von Null und fragten: „Wie kann nichts etwas sein?“ Sie diskutierten sogar über die Existenz von 1 oder ob es eine reelle Zahl war. Erst mit dem hindu-arabischen Zahlensystem wurde die moderne Null eingeführt, einschließlich ihrer Funktion als Platzhalter am Ende einer Zahl. Dies war ein Fortschritt sowohl in der Philosophie der Mathematik als auch in ihrer praktischen Anwendung.
Es gibt zahlreiche Schulen der Philosophie der Mathematik. Einige zeitgenössische Beispiele sind mathematischer Realismus, Intuitionismus, Konstruktivismus, Fiktionalismus und Theorien des verkörperten Geistes. Diese variieren im Allgemeinen auf einem Kontinuum, je nachdem, wie abstrakt und ewig man denkt, dass Mathematik ist, im Gegensatz dazu, wie menschlich kontingent, psychologisch und pragmatisch ihre Verwendungen und Definitionen sein sollten. Die alten Platoniker dachten, mathematische Formen seien ewig und unveränderlich, und wir „entdecken“ neue Theoreme, anstatt sie zu erfinden.
Einige moderne Schulen der kognitiven Psychologie weisen darauf hin, dass unsere Vorstellung von Mathematik eine einzigartige menschliche Vorstellung ist, die von unserem entwickelten Zahlengefühl abgeleitet ist, und dass zum Beispiel bei Außerirdischen mit einer anderen Evolutionsgeschichte als unserer eigenen Vorstellungen entstehen könnten. Heute machen Tausende von Philosophen auf diesem Gebiet Karriere.