Eine Mersenne-Primzahl ist eine Primzahl, die kleiner als eine Potenz von zwei ist. Bis heute wurden etwa 44 entdeckt.
Viele Jahre dachte man, alle Zahlen der Form 2n – 1 seien Primzahlen. Im 16. Jahrhundert zeigte Hudalricus Regius jedoch, dass 211 – 1 2047 war, mit den Faktoren 23 und 89. Eine Reihe weiterer Gegenbeispiele wurden in den nächsten Jahren gezeigt. Mitte des 17. Jahrhunderts veröffentlichte der französische Mönch Marin Mersenne ein Buch, die Cogitata Physica-Mathematica. In diesem Buch stellte er fest, dass 2n – 1 eine Primzahl für einen n-Wert von 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 67, 127 und 257 ist.
Zu der Zeit war es offensichtlich, dass er die Wahrheit einer der höheren Zahlen nicht hätte überprüfen können. Gleichzeitig konnten seine Kollegen seine Behauptung auch nicht beweisen oder widerlegen. Tatsächlich konnte Euler erst ein Jahrhundert später nachweisen, dass die erste unbewiesene Zahl auf Mersennes Liste, 231 – 1, tatsächlich eine Primzahl war. Ein Jahrhundert später, Mitte des 19. Jahrhunderts, zeigte sich, dass 2127 – 1 ebenfalls prim war. Nicht lange danach zeigte sich, dass 261 – 1 auch eine Primzahl war, was zeigte, dass Mersenne mindestens eine Zahl in seiner Liste verpasst hatte. Im frühen 20. Jahrhundert kamen zwei weitere Zahlen hinzu, die er übersehen hatte, 289 – 1 und 2107 – 1. Mit dem Aufkommen von Computern wurde es viel einfacher, zu überprüfen, ob Zahlen Primzahlen sind oder nicht, und 1947 war die gesamte Palette von Mersennes Original-Mersenne Primzahlen wurden überprüft. Die letzte Liste fügte seiner Liste 61, 89 und 107 hinzu, und es stellte sich heraus, dass 257 tatsächlich keine Primzahl war.
Nichtsdestotrotz wurde für seine wichtige Arbeit, eine Grundlage für spätere Mathematiker zu schaffen, dieser Zahlenreihe sein Name gegeben. Wenn eine Zahl von 2n – 1 tatsächlich eine Primzahl ist, nennt man sie eine der Mersenne-Primzahlen.
Eine Mersenne-Primzahl hat auch eine Beziehung zu sogenannten perfekten Zahlen. Perfekte Zahlen nehmen seit Jahrtausenden einen wichtigen Platz in der Zahlenmystik ein. Eine perfekte Zahl ist eine Zahl n, die gleich der Summe ihrer Teiler ist, sich selbst ausschließt. Zum Beispiel ist die Zahl 6 eine perfekte Zahl, weil sie die Teiler 1, 2 und 3 hat und 1+2+3 ebenfalls gleich 6 ist. Die nächste perfekte Zahl ist 28 mit den Teilern 1, 2, 4 , 7 und 14. Der nächste springt auf 496 und der nächste ist 8128. Jede perfekte Zahl hat die Form 2n-1(2n – 1), wobei 2n – 1 auch eine Mersenne-Primzahl ist. Das bedeutet, dass wir uns beim Finden einer neuen Mersenne-Primzahl auch darauf konzentrieren, neue perfekte Zahlen zu finden.
Wie bei vielen Zahlen dieser Art wird das Auffinden einer neuen Mersenne-Primzahl im Laufe der Zeit immer schwieriger, da die Zahlen wesentlich komplexer werden und viel mehr Rechenleistung für die Überprüfung benötigt wird. Während beispielsweise die zehnte Mersenne-Primzahl 89 schnell auf einem Heimcomputer überprüft werden kann, wird die zwanzigste 4423 einen Heimcomputer belasten und die dreißigste 132049 erfordert viel Rechenleistung. Die vierzigste bekannte Mersenne-Primzahl, 20996011, enthält mehr als sechs Millionen einzelne Ziffern.
Die Suche nach einer neuen Mersenne-Primzahl geht weiter, da sie bei einer Reihe von Vermutungen und Problemen eine wichtige Rolle spielt. Die vielleicht älteste und interessanteste Frage ist, ob es eine ungerade perfekte Zahl gibt. Wenn es so etwas gäbe, müsste es durch mindestens acht Primzahlen teilbar sein und hätte mindestens fünfundsiebzig Primfaktoren. Einer seiner Primteiler wäre größer als 1020, also eine wirklich monumentale Zahl. Mit zunehmender Rechenleistung wird jedoch jede neue Mersenne-Primzahl etwas einfacher und vielleicht werden diese alten Probleme irgendwann gelöst.