Un numero primo di Mersenne è un numero primo che è uno in meno di una potenza di due. Ad oggi ne sono stati scoperti circa 44.
Per molti anni si è pensato che tutti i numeri della forma 2n – 1 fossero primi. Nel XVI secolo, tuttavia, Hudalricus Regius dimostrò che 16 – 211 era 1, con i fattori 2047 e 23. Negli anni successivi furono mostrati numerosi altri controesempi. A metà del XVII secolo, un monaco francese, Marin Mersenne, pubblicò un libro, la Cogitata Physica-Mathematica. In quel libro, affermò che 89n – 17 era primo per un valore n di 2, 1, 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31 e 67.
A quel tempo, era evidente che non avrebbe potuto testare la verità di nessuno dei numeri più alti. Allo stesso tempo, anche i suoi pari non potevano provare o smentire la sua affermazione. In effetti, solo un secolo dopo Eulero fu in grado di dimostrare che il primo numero non dimostrato nell’elenco di Mersenne, 231-1, era in effetti primo. Un secolo dopo, a metà del XIX secolo, fu dimostrato che anche 19-2127 era primo. Non molto tempo dopo è stato dimostrato che anche 1 – 261 era primo, dimostrando che Mersenne aveva perso almeno un numero nella sua lista. All’inizio del XX secolo furono aggiunti altri due numeri che aveva perso, 1 – 20 e 289 – 1. Con l’avvento dei computer, controllare se i numeri erano primi o meno divenne molto più facile, e nel 2107 l’intera gamma del Mersenne originale di Mersenne i numeri primi erano stati controllati. L’elenco finale ha aggiunto 1, 1947 e 61 alla sua lista, e si è scoperto che 89 non era in effetti il primo.
Tuttavia, per il suo importante lavoro nel gettare le basi per i successivi matematici su cui lavorare, il suo nome fu dato a quell’insieme di numeri. Quando un numero 2n – 1 è di fatto primo, si dice che sia uno dei numeri primi di Mersenne.
Un numero primo di Mersenne ha anche una relazione con i cosiddetti numeri perfetti. I numeri perfetti hanno avuto un posto importante nel misticismo basato sui numeri per migliaia di anni. Un numero perfetto è un numero n che è uguale alla somma dei suoi divisori, escludendo se stesso. Ad esempio, il numero 6 è un numero perfetto, perché ha i divisori 1, 2 e 3, e anche 1+2+3 è uguale a 6. Il prossimo numero perfetto è 28, con i divisori 1, 2, 4 , 7 e 14. Il successivo salta fino a 496 e il successivo è 8128. Ogni numero perfetto ha la forma 2n-1(2n – 1), dove 2n – 1 è anche un numero primo di Mersenne. Ciò significa che nel trovare un nuovo numero primo di Mersenne, ci concentriamo anche sulla ricerca di nuovi numeri perfetti.
Come molti numeri di questo tipo, trovare un nuovo numero primo di Mersenne diventa più difficile man mano che avanziamo, perché i numeri diventano sostanzialmente più complessi e richiedono molta più potenza di calcolo per essere verificati. Ad esempio, mentre il decimo numero primo di Mersenne, 89, può essere controllato rapidamente su un computer di casa, il ventesimo, 4423, tassa un computer di casa, e il trentesimo, 132049, richiede una grande quantità di potenza di calcolo. Il quarantesimo numero primo di Mersenne noto, 20996011, contiene più di sei milioni di cifre individuali.
La ricerca di un nuovo numero primo di Mersenne continua, poiché giocano un ruolo importante in una serie di congetture e problemi. Forse la domanda più antica e più interessante è se esiste un numero perfetto dispari. Se una cosa del genere esistesse, dovrebbe essere divisibile per almeno otto numeri primi e avrebbe almeno settantacinque fattori primi. Uno dei suoi primi divisori sarebbe maggiore di 1020, quindi sarebbe un numero davvero monumentale. Man mano che la potenza di calcolo continua ad aumentare, tuttavia, ogni nuovo numero primo di Mersenne diventerà un po’ meno difficile e forse questi antichi problemi alla fine saranno risolti.