Quasi tutti gli oggetti matematici possono essere espressi in più modi. Ad esempio, la frazione 2/6 è equivalente a 5/15 e -4/-12. Una forma canonica è uno schema specifico che i matematici usano per descrivere gli oggetti di una data classe in un modo codificato e unico. Ogni oggetto nella classe ha una singola rappresentazione canonica che corrisponde al modello della forma canonica.
Per i numeri razionali, la forma canonica è a/b, dove a e b non hanno fattori comuni e b è positivo. Tale frazione è tipicamente descritta come “in termini minimi”. Quando viene messo in forma canonica, 2/6 diventa 1/3. Se due frazioni hanno lo stesso valore, le loro rappresentazioni canoniche sono identiche.
Le forme canoniche non sono sempre il modo più comune di denotare un oggetto matematico. Le equazioni lineari bidimensionali hanno la forma canonica Ax + By + C = 0, dove C è 1 o 0. Eppure i matematici spesso usano la forma dell’intercetta della pendenza – y = mx + b – quando eseguono calcoli di base. La forma pendenza-intercetta non è canonica; non può essere usato per descrivere la linea x = 4.
I matematici trovano le forme canoniche particolarmente utili quando analizzano i sistemi astratti, in cui due oggetti potrebbero sembrare notevolmente diversi ma sono matematicamente equivalenti. L’insieme di tutti i cammini chiusi su una ciambella ha la stessa struttura matematica dell’insieme di tutte le coppie ordinate (a, b) di interi. Un matematico può vedere facilmente questa connessione se usa forme canoniche per descrivere entrambi gli insiemi. I due insiemi hanno la stessa rappresentazione canonica, quindi sono equivalenti. Per rispondere a una domanda topologica sulle curve su una ciambella, un matematico potrebbe trovare più facile rispondere a una domanda algebrica equivalente sulle coppie ordinate di interi.
Molti campi di studio utilizzano matrici per descrivere i sistemi. Una matrice è definita dalle sue singole voci, ma queste voci spesso non trasmettono il carattere della matrice. Le forme canoniche aiutano i matematici a sapere quando due matrici sono correlate in qualche modo che altrimenti non sarebbe ovvio.
Le algebre booleane, la struttura che i logici usano quando descrivono le proposizioni, hanno due forme canoniche: forma normale disgiuntiva e forma normale congiuntiva. Questi sono algebricamente equivalenti rispettivamente alla fattorizzazione o all’espansione dei polinomi. Un breve esempio illustra questa connessione.
Il preside di un liceo potrebbe dire: “La squadra di football deve vincere una delle prime due partite e battere i nostri rivali, gli Hornets, alla terza, altrimenti l’allenatore verrà licenziato”. Questa affermazione può essere scritta logicamente come (w1 + w2) * H + F, dove “+” è l’operazione logica “o” e “*” è l’operazione logica “e”. La forma normale disgiuntiva per questa espressione è w1 *H + w2 *H + F. La sua forma normale congiuntiva per è (w1 + w2 + F) * (H + F). Tutte e tre queste espressioni sono vere esattamente nelle stesse condizioni, quindi sono logicamente equivalenti.
Ingegneri e fisici fanno anche uso di forme canoniche quando considerano i sistemi fisici. A volte un sistema sarà matematicamente simile a un altro anche se non sembra affatto simile. Le equazioni di matrici differenziali utilizzate per modellare una potrebbero essere identiche a quelle utilizzate per modellare l’altra. Queste somiglianze diventano evidenti quando i sistemi sono espressi in una forma canonica, come la forma canonica osservabile o la forma canonica controllabile.