La probabilità a posteriori misura la probabilità che un evento si verifichi dato che un evento correlato si è già verificato. È una modifica della probabilità originale o della probabilità senza ulteriori informazioni, che è chiamata probabilità a priori. La probabilità a posteriori viene calcolata utilizzando il teorema di Bayes. La modellazione finanziaria dei portafogli azionari è un’applicazione comune della probabilità a posteriori in finanza. A volte è difficile assegnare con precisione le probabilità agli eventi, limitando l’utilità della probabilità a posteriori.
Per calcolare la probabilità a posteriori, si può esaminare la probabilità condizionata di due eventi dipendenti. Sia A l’evento target, allora P(A) è la probabilità a priori. Sia B un secondo evento dipendente, o correlato all’evento A, con probabilità P(B). Inoltre, sia P(B|A) la probabilità che si verifichi l’evento B, dato che A si verifica.
Utilizzando il teorema di Bayes, si può calcolare la probabilità a posteriori P(A|B). La teoria afferma: P(A|B) = P(B|A)*P(A)/ P(B). Nota che se gli eventi A e B sono indipendenti, la loro probabilità congiunta è P(A|B) = P(A). Ciò significa che le loro probabilità a posteriori e precedenti sono identiche, poiché l’evento B non ha alcun effetto sull’evento A.
Un esempio dalla finanza è calcolare se il prezzo di un’azione aumenterà, dato che i tassi di interesse sono aumentati. Sia A l’evento in cui i prezzi delle azioni salgono e la probabilità che le azioni aumentino è 50% o P(A) = 0.50. Sia B l’evento in cui i tassi di interesse salgono e la probabilità che le azioni aumentino è 75% o P(B) = 0.75. Infine, la probabilità che i tassi di interesse aumentino dato che i prezzi delle azioni aumentano del 20% o P(B|A) = 0.20.
La probabilità che i prezzi delle azioni aumentino dato che i tassi di interesse aumentano può essere determinata collegando questi valori al teorema di Bayes. Dà P(A|B) = 0.20*0.50/ 0.75 = 0.13 o 13%. Ciò significa che se i tassi di interesse aumentano, anche i prezzi delle azioni hanno una probabilità del 13% di aumentare, non esattamente una scommessa sicura.
Gli analisti finanziari utilizzano la probabilità a posteriori per analizzare le interrelazioni di molti diversi tipi di eventi. I tassi di cambio, i cambiamenti nelle politiche economiche e le abitudini di spesa dei consumatori sono tutti esempi di eventi che potrebbero influenzare i prezzi delle azioni. Quantificare le probabilità che questi eventi si verifichino è molto difficile. Anche definire l’impatto che un evento avrà sul prezzo di un’azione può essere molto impegnativo.
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