Die Finite-Elemente-Analyse (FEA) ist ein computerbasiertes Werkzeug zur Annäherung an die Lösung eines ansonsten unlösbaren Problems. Es wird häufig in der Bautechnik eingesetzt, wird jedoch auch bei anderen Problemen wie Strömungsmechanik und Wärmefluss verwendet. Die meisten mathematischen Probleme für praktische Anwendungen sind tatsächlich zu kompliziert, um analytisch gelöst zu werden, obwohl sie in den meisten Fällen keine perfekten Lösungen erfordern. Die Finite-Elemente-Analyse ist eine numerische – im Gegensatz zu einer analytischen – Technik, um annehmbar genaue Lösungen zu erhalten; es funktioniert, indem es ein kompliziertes Problem in viele einfachere aufteilt.
Analytische Methoden beinhalten das Lösen eines mathematischen Problems, um eine perfekte, kontinuierliche Lösung zu erhalten. Mit anderen Worten, die Lösung ist eine Funktion in Bezug auf eine Variable und keine numerische Näherung. Es gibt keinen Grad an Schätzung oder Fehler bei analytischen Lösungen einer gegebenen Gleichung. Für Formulierungen, die reale Probleme modellieren, sind jedoch oft keine analytischen Lösungen bekannt. Diese erfordern numerische Methoden, von denen ein Beispiel die Finite-Elemente-Analyse ist, um eine Näherungslösung zu erhalten.
Die Finite-Elemente-Analyse beruht auf der Aufteilung eines komplizierten Problems in eine große Anzahl weniger komplexer Probleme. Wenn die Lösung eines Problems ein sehr kompliziertes Verhalten aufweist, ist es manchmal akzeptabel, Vereinfachungen anzuwenden. Oftmals führt jedoch eine grobe Vereinfachung zu viele Fehler ein, um nützlich zu sein. Dies ist, wenn das Aufteilen des Problems in viele separate Probleme hilfreich sein kann. Vereinfachte Lösungen für jedes Element eines Problems können zusammen integriert werden, um eine hochgenaue allgemeine Lösung zu erhalten.
Bei der Finite-Elemente-Analyse wird die Domäne eines Problems in viele kleinere Zonen unterteilt, die als Elemente bezeichnet werden. Der kollektive Körper von Elementen wird als Netz bezeichnet. Der Prozess des Integrierens oder Zusammenfassens vieler verschiedener Elemente funktioniert aufgrund der Art und Weise, wie Elemente an ihren Grenzen interagieren. Wenn die Grenzwechselwirkungen von Elementen verstanden sind, kann ein Computer die Näherungslösung von einem Element zum nächsten erweitern. Am Ende hat der Computer eine Näherungslösung „gebaut“, die dem realen Verhalten sehr nahe kommt.
Ein häufig mit der Finite-Elemente-Analyse gelöstes Problem ist die Verteilung von Spannungen in einem massiven Metallstück. Wenn Metall oder ein vergleichbares Material Kräften ausgesetzt ist, wird jedes Teil des Objekts einer bestimmten Belastung ausgesetzt. Auch wenn die einwirkenden Kräfte bekannt sind, sind unregelmäßig geformte Objekte typischerweise zu komplex, um die genaue Verteilung der inneren Spannungen zu kennen. An dieser Stelle kann die Finite-Elemente-Analyse verwendet werden, um eine ungefähre Lösung – Element für Element – für dieses Problem zu berechnen. Mit Hilfe einer Visualisierungssoftware kann diese Informationssammlung dann in ein intuitives und stimmiges Bild gebracht werden.