Komplexe Ableitungen sind Beschreibungen der Änderungsraten komplexer Funktionen, die in Wertfeldern operieren, die imaginäre Zahlen enthalten. Sie informieren Mathematiker über das Verhalten schwer vorstellbarer Funktionen. Die Ableitung einer komplexen Funktion f an x0, falls vorhanden, ist durch den Grenzwert gegeben, wenn x sich x0 von (f(x)-f(x0))/(x-x0) nähert.
Funktionen verknüpfen Werte in einem Feld mit Werten in einem anderen Feld. Dies ist eine Aktion, die als Zuordnung bezeichnet wird. Wenn eines oder beide dieser Felder Zahlen enthalten, die Teil des Felds der komplexen Zahlen sind, wird die Funktion als komplexe Funktion bezeichnet. Komplexe Ableitungen kommen von komplexen Funktionen, aber nicht jede komplexe Funktion hat eine komplexe Ableitung.
Die Wertemengen, denen eine komplexe Funktion zugeordnet wird, müssen komplexe Zahlen enthalten. Dies sind Werte, die durch a + bi dargestellt werden können, wobei a und b reelle Zahlen sind und i die Quadratwurzel der negativen Eins ist, die eine imaginäre Zahl ist. Der Wert von b kann null sein, also sind alle reellen Zahlen auch komplexe Zahlen.
Derivate sind Änderungsraten von Funktionen. Im Allgemeinen ist die Ableitung ein Maß für die Änderungseinheiten einer Achse für jede Einheit einer anderen Achse. Beispielsweise hätte eine horizontale Linie in einem zweidimensionalen Graphen eine Ableitung von Null, da sich der y-Wert für jede x-Einheit um Null ändert. Momentane Ableitungen, die am häufigsten verwendet werden, geben die Änderungsrate an einem Punkt der Kurve und nicht über einen Bereich an. Diese Ableitung ist die Steigung der Geraden, die die Kurve an dem gewünschten Punkt tangiert.
Die Ableitung existiert jedoch nicht überall auf jeder Funktion. Wenn eine Funktion beispielsweise eine Ecke enthält, existiert die Ableitung an der Ecke nicht. Dies liegt daran, dass die Ableitung durch eine Grenze definiert ist und wenn die Ableitung von einem Wert zu einem anderen springt, dann ist die Grenze nicht vorhanden. Eine Funktion mit Ableitungen heißt differenzierbar. Eine Bedingung für die Differenzierbarkeit bei komplexen Funktionen ist, dass die partiellen Ableitungen oder die Ableitungen für jede Achse existieren und an der fraglichen Stelle stetig sein müssen.
Komplexe Funktionen mit komplexen Ableitungen müssen auch die Bedingungen erfüllen, die als Cauchy-Riemann-Funktionen bezeichnet werden. Diese erfordern, dass die komplexen Ableitungen gleich sind, unabhängig davon, wie die Funktion ausgerichtet ist. Sind die durch die Funktionen angegebenen Bedingungen erfüllt und die partiellen Ableitungen stetig, dann ist die Funktion komplex differenzierbar.