Polarkoordinaten sind eine Form, um die Position auf einer zweidimensionalen Ebene auszudrücken. Kartesische Koordinaten, auch rechtwinklige Koordinaten genannt, verwenden eine Distanz in jeder von zwei Dimensionen, um einen Punkt zu lokalisieren, aber Polarkoordinaten verwenden einen Winkel und eine Distanz. Der Abstand wird manchmal als Radius bezeichnet.
Rechteckige Koordinaten werden typischerweise mit (x, y) bezeichnet, wobei x und y Abstände entlang dieser jeweiligen Achsen sind. Auf ähnliche Weise werden Polarkoordinaten als (r,θ) ausgedrückt. Der Buchstabe r ist der Abstand vom Ursprung in dem Winkel, der durch den griechischen Buchstaben Theta repräsentiert wird, , wobei r eine positive oder negative Zahl sein kann. Wenn ein negativer Abstand verwendet wird, ändert sich die Größe des Abstands nicht, aber die Richtung wird entgegen dem Winkel θ auf der anderen Seite des Ursprungs genommen. Ein Punkt in einem Polarkoordinatensystem kann als ein Vektor mit einer Größe von r, einer Richtung von und einem Richtungssinn, der das Vorzeichen von r ist, bezeichnet werden.
Die Übersetzung zwischen rechtwinkligen und polaren Koordinaten kann durch die Verwendung trigonometrischer Formeln erreicht werden. Für die Umrechnung von Rechteck auf Polar können die folgenden Formeln angewendet werden: = tan-1(y/x) und r = √(x2 + y2). Für Änderungen von polar zu rechteckig können diese Gleichungen verwendet werden: x = rcosθ und y = rsinθ.
Polarkoordinaten werden in der Regel für jede Situation verwendet, in der sich rechtwinklige Koordinaten als schwierig oder umständlich erweisen würden und umgekehrt. Jede Anwendung mit kreisförmiger Geometrie oder radialer Bewegung ist ideal für Polarkoordinaten geeignet, da diese Geometrien mit relativ einfachen Gleichungen in einem Polarkoordinatensystem beschrieben werden können; ihre Graphen sehen im Vergleich zu denen auf rechteckigen Koordinatensystemen eher krummlinig oder kreisförmig aus. Als Ergebnis können Polarkoordinaten Modelle von Phänomenen der realen Welt darstellen, die ähnlich abgerundete Formen haben.
Die Anwendungen von Polarkoordinaten sind sehr vielfältig. Polarkoordinatendiagramme wurden verwendet, um die Schallfelder zu modellieren, die durch unterschiedliche Lautsprecherpositionen oder die Bereiche erzeugt werden, in denen verschiedene Arten von Mikrofonen den Schall am besten aufnehmen können. Polarkoordinaten sind für die Modellierung von Bahnbewegungen in der Astronomie und Raumfahrt von großer Bedeutung. Sie sind auch die grafische Grundlage für die berühmte Euler-Formel, die in der Mathematik regelmäßig zur Darstellung und Manipulation komplexer Zahlen verwendet wird.
Wie ihre rechteckigen Gegenstücke müssen Polarkoordinaten nicht auf nur zwei Dimensionen beschränkt sein. Um Werte in drei Dimensionen auszudrücken, kann dem Koordinatensystem ein zweiter Winkel, der durch den griechischen Buchstaben phi dargestellt wird, hinzugefügt werden. Jeder Punkt kann somit um einen festen Abstand und zwei Winkel vom Ursprung entfernt werden und ihm können die Koordinaten (r,θ,φ) zugewiesen werden. Wenn diese Art von Nomenklatur zum Verfolgen und Lokalisieren von Punkten im dreidimensionalen Raum verwendet wird, wird das Koordinatensystem als Kugelkoordinatensystem bezeichnet. Diese Art von Geometrie wird manchmal als Verwendung von polaren Kugelkoordinaten bezeichnet.
Kugelkoordinaten haben tatsächlich eine bekannte Anwendung – sie werden bei der Kartierung der Erde verwendet. Der Winkel ist typischerweise der Breitengrad und ist auf zwischen minus-90 Grad und 90 Grad begrenzt, während der Winkel φ der Längengrad ist und zwischen minus-180 und 180 Grad gehalten wird. In dieser Anwendung kann r manchmal ignoriert werden, aber es wird häufiger für die Angabe der Höhe über dem mittleren Meeresspiegel verwendet.