La regola del coseno è una formula comunemente usata in trigonometria per determinare alcuni aspetti di un triangolo non rettangolo quando altre parti chiave di quel triangolo sono note o possono essere determinate in altro modo. È un’estensione efficace del teorema di Pitagora, che in genere funziona solo con triangoli rettangoli e afferma che il quadrato dell’ipotenusa del triangolo è uguale ai quadrati degli altri due lati quando sommati (c2=a2+b2). La regola del coseno è un’estensione di questo principio matematico che la rende efficace per i triangoli non rettangoli e afferma che rispetto a un certo angolo, il quadrato del lato del triangolo opposto a quell’angolo è uguale ai quadrati degli altri due lati sommati, meno due volte entrambi i lati moltiplicati insieme per il coseno di quell’angolo (c2=a2+b2-2ab cosC dove C è l’angolo opposto lato c).
Sebbene molte fonti matematiche moderne diano credito a un matematico musulmano di nome al-Kashi per la creazione della regola del coseno, ci sono anche alcune prove che indicano che l’antico matematico greco Euclide aveva ideato un principio simile. Gran parte dell’algebra e della trigonometria moderne derivano dagli sforzi dei musulmani durante il Medioevo europeo, e fu intorno al XV secolo che al-Kashi codificò la formula in un modo che è ancora compreso oggi. In Francia la regola viene persino chiamata Le théorème d’Al-Kashi o “il teorema di al-Kashi”.
In generale, la regola del coseno viene utilizzata nella triangolazione e in una serie di altre applicazioni pratiche della trigonometria. È particolarmente utile nei sistemi in cui le lunghezze di tutti e tre i lati sono note o possono essere stabilite e la misura degli angoli all’interno del triangolo deve essere determinata. La regola del coseno può essere utilizzata anche per stabilire la lunghezza di un lato di un triangolo se sono note le lunghezze degli altri due lati e l’angolo opposto a quel lato.
Poiché la regola del coseno si occupa di triangoli costituiti da tre lati dritti e dai loro angoli, generalmente funziona solo nell’ambito della geometria euclidea. Diverse versioni della regola del coseno possono essere utilizzate per la geometria non euclidea come la geometria sferica e la geometria iperbolica. In questi sistemi, un triangolo è costituito da tre punti nello spazio curvo e dalle linee, generalmente linee curve, che li collegano. La legge iperbolica dei coseni e la legge sferica dei coseni funzionano in modo molto simile alla regola del coseno euclidea, in quanto possono consentire a qualcuno di stabilire i tre angoli di un triangolo purché ne conosca i tre lati. A differenza delle regole del coseno euclideo, tuttavia, queste leggi non euclidee possono anche consentire a qualcuno di determinare le dimensioni dei tre lati di un triangolo se conosce i tre angoli.