Un coset è un tipo specifico di sottoinsieme di un gruppo matematico. Ad esempio, si potrebbe considerare l’insieme di tutti i multipli interi di 7, {… -14, -7, 0, 7, 14 …}, che può essere indicato come 7Z. Sommando 3 a ciascun numero si genera l’insieme {… -11, -4, 3, 10, 17 …}, che i matematici descrivono come 7Z + 3. Quest’ultimo insieme è chiamato coset di 7Z generato da 3.
Ci sono due importanti proprietà di 7Z. Se un numero è multiplo di 7, lo è anche il suo inverso additivo. L’inverso additivo di 7 è -7, l’inverso additivo di 14 è -14 e così via. Inoltre, aggiungendo un multiplo di 7 a un altro multiplo di 7 si ottiene un multiplo di 7. I matematici lo descrivono dicendo che i multipli di 7 sono “chiusi” nell’operazione di addizione.
Queste due caratteristiche sono il motivo per cui 7Z è chiamato sottogruppo degli interi in addizione. Solo i sottogruppi hanno coset. L’insieme di tutti i numeri cubici, {… -27, -8, -1, 0, 1, 8, 27 …}, non ha cosets allo stesso modo di 7Z perché non è chiuso rispetto all’addizione: 1 + 8 = 9 e 9 non è un numero cubico. Allo stesso modo, l’insieme di tutti i numeri pari positivi, {2, 4, 6, …}, non ha cosets perché non contiene inversi.
La ragione di queste clausole è che ogni numero dovrebbe essere esattamente in un coset. Nel caso di {2, 4, 6, …}, 6 è nel coset generato da 4 ed è nel coset generato da 2, ma quei due coset non sono identici. Questi due criteri sono sufficienti per garantire che ogni elemento sia esattamente in un oggetto.
I coset esistono in qualsiasi gruppo e alcuni gruppi sono molto più complicati degli interi. Un gruppo utile che si potrebbe considerare è l’insieme di tutti i modi per spostare un quadrato senza cambiare la regione che copre. Se un quadrato viene ruotato di 90 gradi, non vi è alcun cambiamento apparente nella forma. Allo stesso modo, può essere capovolto verticalmente, orizzontalmente o attraverso una diagonale senza cambiare la regione che copre il quadrato. I matematici chiamano questo gruppo D4.
D4 ha otto elementi. Due elementi sono considerati identici se lasciano tutti gli angoli nello stesso punto, quindi ruotare quattro volte il quadrato in senso orario è considerato come non fare nulla. Con questo in mente, gli otto elementi possono essere indicati con e, r, r2, r3, v, h, dd e dd. La “e” si riferisce a non fare nulla e “r2” indica l’esecuzione di due rotazioni. Ciascuno degli ultimi quattro elementi si riferisce al ribaltamento del quadrato: verticalmente, orizzontalmente o lungo le sue diagonali inclinate verso l’alto o verso il basso.
Gli interi sono un gruppo abeliano, il che significa che il suo funzionamento soddisfa la legge commutativa: 3 + 2 = 2 + 3. D4 non è abeliano. Ruotare un quadrato e poi capovolgerlo orizzontalmente non sposta gli angoli nello stesso modo in cui lo si capovolge e poi lo si ruota.
Quando lavorano in gruppi non commutativi, i matematici in genere usano un * per descrivere l’operazione. Un piccolo lavoro mostra che ruotare il quadrato e poi capovolgerlo orizzontalmente, r * h, equivale a capovolgerlo lungo la sua diagonale verso il basso. Quindi r * h = dd. Capovolgere il quadrato e poi ruotarlo equivale a capovolgerlo lungo la sua diagonale verso l’alto, quindi r * h = du.
L’ordine è importante in D4, quindi bisogna essere più precisi quando si descrivono coset. Quando si lavora sugli interi, la frase “il coset di 7Z generato da 3” è univoca perché non importa se 3 viene aggiunto a sinistra o a destra di ogni multiplo di 7. Per un sottogruppo di D4, invece, ordini diversi creare coset diverse. Sulla base dei calcoli descritti in precedenza, r*H, l’oggetto sinistro di H generato da r—uguale a {r, dd} ma H*r uguale a (r, du}. Il requisito che nessun elemento sia in due oggetti diversi non si applica quando si confrontano le cose destre con le cose sinistre.
Gli elementi di destra di H non corrispondono ai suoi elementi di sinistra. Non tutti i sottogruppi di D4 condividono questa proprietà. Si può considerare il sottogruppo R di tutte le rotazioni del quadrato, R={e, r, r2, r3}.
Un piccolo calcolo mostra che i suoi elementi di sinistra sono gli stessi di quelli di destra. Tale sottogruppo è chiamato sottogruppo normale. I sottogruppi normali sono estremamente importanti nell’algebra astratta perché codificano sempre informazioni extra. Ad esempio, le due possibili cose di R equivalgono alle due possibili situazioni “il quadrato è stato capovolto” e “il quadrato non è stato capovolto”.