La congettura di Poincaré è una delle congetture più importanti della matematica moderna ed è stata attualmente dimostrata adeguatamente al punto da essere considerata un teorema completo. È uno dei sette problemi del Millennium Prize, dichiarato dal Clay Mathematics Institute nel 2000. Ad oggi, è l’unico dei problemi del Millennium Prize ad essere stato risolto, e la sua soluzione è stata vista come una delle scoperte più importanti del nuovo millennio.
All’inizio del XX secolo, un matematico francese, Henri Poincaré, iniziò a tracciare ciò che sarebbe servito come base per il campo matematico della topologia. Uno dei suoi obiettivi principali era sulle proprietà delle sfere, e ha speso molta attenzione ed energia per delineare la sfera. Ha posto una serie di domande, ma la più famosa è stata formulata come: “Considera una varietà tridimensionale compatta V senza confine. È possibile che il gruppo fondamentale di V possa essere banale, anche se V non è omeomorfo alla sfera tridimensionale?” Sebbene non abbia mai fatto una dichiarazione concreta in un modo o nell’altro, questa sarebbe diventata nota come la congettura di Poincaré.
La forma più comune della congettura di Poincaré è semplicemente: ogni 3-varietà chiusa semplicemente connessa è omeomorfa alla 3-sfera. La Congettura di Poincaré è stata anche generalizzata a dimensioni superiori a tre, della forma n-sfera. Sebbene in origine si pensasse che la stessa congettura di Poincaré sarebbe stata vera, si pensava che la congettura di Poincaré generalizzata si sarebbe rivelata falsa. Fu quindi una sorpresa quando nel 1961 fu dimostrata la congettura di Poincaré generalizzata per dimensioni maggiori di quattro, e poi nel 1982 quando si dimostrò che il caso delle 4 sfere era vero.
Nel 1982 Richard Hamilton dimostrò che la congettura di Poincaré era vera in un certo numero di casi specializzati, ma non fu in grado di dimostrarla più in generale. Nel 2000 il Clay Mathematics Institute ha incluso la Congettura di Poincaré nei suoi Millennium Prize Problems, offrendo un premio di $ 1,000,000 di dollari USA (USD) per una soluzione che si è rivelata soddisfacente. Nel 2002 e nel 2003 il matematico Grigori Perelman ha pubblicato due articoli che tracciavano uno schizzo per una dimostrazione della congettura di Poincaré.
Nel 2006 un certo numero di gruppi di lavoro ha colmato piccole lacune incidentali nel lavoro di Perelman, e John Morgan e Gang Tian lo hanno scritto come una prova dettagliata. Alla fine lo hanno ampliato in un libro sulla congettura di Poincaré e nel 2006 Morgan ha dichiarato che Perelman aveva risolto il problema nel 2003. Per il suo lavoro, Perelman è stato insignito della Medaglia Fields, ma ha rifiutato. Anche se tecnicamente ha risolto anche il Millennium Prize, e quindi è idoneo a ricevere il milione di dollari, non ha intrapreso i passi necessari per richiedere il premio.
La risoluzione della Congettura di Poincaré è stata vista come una grande svolta in matematica e una delle prove più importanti del nuovo millennio. Alla fine del 2006, la rivista Science ha nominato la soluzione alla congettura di Poincaré come svolta scientifica dell’anno. Questa era la prima volta che l’onore veniva conferito a una svolta nella matematica pura.