La topologia è una branca della matematica che si occupa dello studio delle superfici o degli spazi astratti, dove le quantità misurabili non sono importanti. A causa di questo approccio unico alla matematica, la topologia viene talvolta definita geometria del foglio di gomma, perché si immagina che le forme in esame esistano su fogli di gomma allungabili all’infinito. Nella geometria tipica, le forme fondamentali come il cerchio, il quadrato e il rettangolo sono la base per tutti i calcoli, ma, in topologia, la base è quella della continuità e della posizione dei punti l’uno rispetto all’altro.
Una mappa topologica può avere punti che insieme formerebbero una forma geometrica come un triangolo. Questa raccolta di punti è vista come uno spazio che rimane immutato; tuttavia, non importa come sia attorcigliato o allungato, come i punti su un foglio di gomma, rimarrebbe invariato non importa in quale forma fosse. Questo tipo di quadro concettuale per la matematica è spesso utilizzato in aree in cui si verificano spesso deformazioni su larga o piccola scala, come i pozzi gravitazionali nello spazio, l’analisi della fisica delle particelle a livello subatomico e nello studio di strutture biologiche come il modifica della forma delle proteine.
La geometria della topologia non si occupa della dimensione degli spazi, quindi l’area della superficie di un cubo ha la stessa topologia di quella di una sfera, poiché una persona può immaginarla attorcigliata per passare da una forma all’altra. Tali forme che condividono caratteristiche identiche sono indicate come omeomorfe. Un esempio di due forme topologiche che non sono omeomorfe, o che non possono essere alterate per assomigliarsi, sono una sfera e un toro, o una forma a ciambella.
Scoprire le proprietà spaziali fondamentali degli spazi definiti è un obiettivo primario in topologia. Una mappa topologica di un insieme di livello base è detta insieme di spazi euclidei. Gli spazi sono classificati in base al loro numero di dimensioni, dove una linea è uno spazio in una dimensione e un piano uno spazio in due. Lo spazio che viene vissuto dagli esseri umani è indicato come spazio euclideo tridimensionale. Insiemi di spazi più complicati sono chiamati varietà, che appaiono diversi a livello locale rispetto a quanto non appaiono su larga scala.
Gli insiemi molteplici e la teoria dei nodi tentano di spiegare le superfici in molte dimensioni oltre ciò che è percepibile a livello umano letterale, e gli spazi sono collegati a invarianti algebrici per classificarli. Questo processo di teoria dell’omotopia, o la relazione tra spazi topologici identici, è stato avviato da Henri Poincaré, un matematico francese vissuto dal 1854 al 1912. I matematici hanno dimostrato il lavoro di Poincaré in tutte le dimensioni tranne tre, in cui gli schemi di classificazione completi per le topologie rimangono sfuggenti.