Una funzione pari è definita come qualsiasi funzione in cui l’affermazione f(x) = f(-x) è vera per tutti i valori reali di x. Equivalentemente, una funzione pari è qualsiasi funzione definita per tutti i valori reali di x e che ha simmetria riflessiva rispetto all’asse y. La disparità o l’uniformità delle funzioni è principalmente utile nelle funzioni grafiche.
Una funzione è una relazione che mette in relazione gli elementi di un insieme di numeri – il dominio, agli elementi di un altro insieme – l’intervallo. La relazione è generalmente definita in termini di un’equazione matematica, in cui se un numero del dominio viene inserito nell’equazione, viene fornito un singolo valore all’interno dell’intervallo come risposta. Ad esempio, per la funzione f(x) = 3×2 + 1, quando x = 2 è il valore selezionato dal dominio, f(x) = f(2) = 13. Se il dominio e l’intervallo sono entrambi dall’insieme dei numeri reali, allora la funzione può essere rappresentata graficamente tracciando ogni punto (x, f(x)), dove la coordinata x è dal dominio della funzione e la coordinata y è il valore corrispondente dall’intervallo della funzione.
Correlata al concetto di funzione pari è la funzione dispari. Una funzione dispari è quella in cui l’affermazione f(x) = -f (-x) per tutti i valori reali di x. Quando sono rappresentate graficamente, le funzioni dispari hanno simmetria rotazionale attorno all’origine.
Sebbene la maggior parte delle funzioni non sia né dispari né pari, esiste ancora un numero infinito di funzioni pari. La funzione costante, f(x) = c, in cui la funzione ha un solo valore indipendentemente dal valore selezionato dal dominio, è una funzione pari. Le funzioni di potenza, f(x) = xn, sono pari finché n è un numero intero pari. Tra le funzioni trigonometriche, coseno e secante sono entrambe funzioni pari, così come le corrispondenti funzioni iperboliche f(x) = cosh(x) = (ex + ex)/2 e f(x) = sech(x) = 2/ ( ex + ex).
Nuove funzioni pari possono essere create da altre funzioni note per essere funzioni pari. L’aggiunta o la moltiplicazione di due funzioni pari creerà una nuova funzione pari. Se una funzione pari viene moltiplicata per una costante, la funzione risultante sarà pari. Anche le funzioni pari possono essere create da funzioni dispari. Se due funzioni note per essere dispari, come f(x) = x e g(x) = sin(x), vengono moltiplicate insieme, la funzione risultante, come h(x) = x sin(x) sarà pari .
Nuove funzioni pari possono essere create anche dalla composizione. Una funzione di composizione, come h(x) = g(f(x)), è quella in cui l’output di una funzione — in questo caso f(x) — è usato come input per la seconda funzione — g(x ). Se la funzione più interna è pari, anche la funzione risultante sarà pari indipendentemente dal fatto che la funzione esterna sia pari, dispari o nessuna delle due. La funzione esponenziale g(x) = ex, per esempio, non è né dispari né pari, ma poiché il coseno è una funzione pari, lo è anche la nuova funzione h(x) = ecos(x).
Un risultato matematico sostiene che ogni funzione definita per tutti i numeri reali può essere espressa come la somma di una funzione pari e di una dispari. Se f(x) è una qualsiasi funzione definita per tutti i numeri reali, è possibile costruire due nuove funzioni, g(x) = (f(x) + f(-x))/2 e h(x) = (f (x) – f(-x))/2. Ne segue che g(-x) = (f(-x) + f(x))/2 = (f(x) + f(-x))/2 = g(x) e quindi g(x) è una funzione pari. Allo stesso modo, h(-x) = (f(-x)-f(x))/2 = – (f(x)-f(-x))/2 = -h(x) quindi h(x) è per definizione una funzione dispari. Se le funzioni vengono sommate, g(x) + h (x) = (f(x)+f(-x))/2 + (f(x)-f(-x))/2 = 2 f( x) / 2 = f(x). Quindi ogni funzione f(x) è la somma di una funzione pari e di una dispari.